オメガ定数とは? わかりやすく解説

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オメガ定数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/11 13:38 UTC 版)

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オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

を満たす数学定数であり、およそ Ω = 0.5671432904097838729999686622… である。

また、

とも定義できる(ただし、W: ランベルトのW関数)。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

が、

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω0 から始めて、Ω が漸化式

を用いて反復計算できることがわかる。この数列

収束する。


無理性

Ω が無理数であることは、「e がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、


これは、ep 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

その他

高さが無限大のテトレーション 極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、の値は、e に等しい。

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脚注

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