オメガ定数とは？わかりやすく解説

オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

\Omega \times e^{\Omega }=1

を満たす数学定数であり、およそ Ω ＝ 0.5671432904097838729999686622… (オンライン整数列大辞典の数列 A030178)である。

また、

\Omega =W(1)\,

とも定義できる（ただし、W: ランベルトのW関数）。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

e^{-\Omega }=\Omega \,

が、

\ln(1/\Omega )=\Omega \,

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω₀ から始めて、Ω が漸化式

\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}

を用いて反復計算できることが分かる。この数列は

\lim _{n\to \infty }\Omega _{n}=\Omega

に収束する。

無理性

Ω は無理数である。

Ω が有理数であれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

{\frac {p}{q}}=\Omega

これをオメガ定数の定義式に代入すると、

1={\frac {p}{q}}e^{\frac {p}{q}}

e^{p}=\left({\frac {q}{p}}\right)^{q}

これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。

高さが無限大のテトレーション ${\left({\frac {1}{e}}\right)}^{{\left({\frac {1}{e}}\right)}^{.^{.^{\left({\frac {1}{e}}\right)}}}}$ の極限は、オメガ定数 Ω に収束する。

また、 ${\left({\frac {1}{\Omega }}\right)}^{\left({\frac {1}{\Omega }}\right)}$ の値は、e に等しい。