出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/05/27 05:00 UTC 版)
次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。
Γ ( n z ) = n n z − 1 / 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) {\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}
両辺の比を f ( z ) {\displaystyle f(z)} とすると
f ( z ) = n n z − 1 / 2 ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( n z ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)=&{\frac {n^{nz-1/2}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\Gamma (nz)}}\\\end{aligned}}} f ( z + 1 ) = n n z − 1 / 2 n n [ ∏ k = 0 n − 1 ( z + k n ) Γ ( z + k n ) ] ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 ( n z + k ) ] Γ ( n z ) = n n z − 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 ( n z + k ) ] ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 ( n z + k ) ] Γ ( n z ) = f ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(z+1)&={\frac {n^{nz-1/2}n^{n}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(z+{\frac {k}{n}}\right)\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz)}}\\&={\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod _{k=0}^{n-1}\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}{(2\pi )^{(n-1)/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma (nz)}}\\&=f(z)\\\end{aligned}}}
故に、任意に大きな自然数 m {\displaystyle m} について f ( z + m ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+m)=f(z)} が成立する。スターリングの公式により
lim ℜ z → + ∞ f ( z ) = lim ℜ z → + ∞ n n z − 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 2 π z + k / n ( z + k / n e ) z + k / n ] ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 2 π n z ( n z e ) n z = lim ℜ z → + ∞ z 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 z k / n − 1 / 2 ( 1 + k / n z ) z + k / n − 1 / 2 e − k / n ] = lim ℜ z → + ∞ z 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 z k / n − 1 / 2 e k / n e − k / n ] = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\Re {z}\to +\infty }f(z)&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }{\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}{{\sqrt {\frac {2{\pi }}{z+k/n}}}\left({\frac {z+k/n}{e}}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}{\sqrt {\frac {2{\pi }}{nz}}}\left({\frac {nz}{e}}\right)^{nz}}}\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\&=1\end{aligned}}}
途中で
lim ℜ z → + ∞ ( 1 + k / n z ) z + k / n − 1 / 2 = lim ℜ z → + ∞ ( 1 + k / n z ) z = e n / k {\displaystyle \lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim _{\Re {z}\to +\infty }(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}}
を適用した。
f ( z ) = lim n → ∞ f ( z + n ) = 1 {\displaystyle f(z)=\lim _{n\to \infty }f(z+n)=1}
であり、故に
が成立する。
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