母分散の検定

統計学用語辞典

母分散の検定

例題：
　「ある製造ラインから製造される製品 10 個の重量を測定したとき，標本不偏分散が 4.5 であった。正常な場合には分散（母分散）は 2.1 であることがわかっている。現在の製造ラインは正常であるといえるだろうか。有意水準 5% で検定を行いなさい。」


検定手順：

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「母分散がある値である（σ² = σ²0）」。
   • 対立仮説 H1：「母分散がある値とは異なる（σ² ≠ σ²0）」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定も定義できる）。
   
   
2. 以下のいずれかによって検定統計量 χ²0 を求める。
   
   1. 母平均が未知の場合
      母分散が σ²0 の正規母集団から抽出された n ケースの不偏分散を U とすると，次式の χ²0 は，自由度が n - 1 の χ² 分布に従う。
      
      例題では母平均が与えられていないので，こちらの計算式を使うことになる。
      χ²0 = ( 10 - 1 ) ・4.5 / 2.1 = 19.285714 である。
      
   2. 母平均が既知の場合
      母平均が μ，母分散が σ²0 の正規母集団からケース数 n の標本が抽出されたとき，次式の χ²0 は，自由度が n の χ² 分布に従う。
      
   
   
3. 有意確率 P を求める。
   p = Pr｛χ² ≧ χ²0｝ として，
   
   1. p ＞ 0.5 のとき … P = 2 × (1 - p)
      
   2. p ＜ 0.5 のとき … P = 2 × p
   
   χ²分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，自由度 9 の χ² 分布において，P = 2 × Pr｛χ² ≧ 19.285714｝= 2 × 0.0228702 = 0.0457404 である。
   
4. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「母分散はある値と異なるとはいえない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「母分散はある値と異なる」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「母分散は 2.1 とは異なる」といえる。

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母分散の検定

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/06 04:44 UTC 版)

「科学的方法」の記事における「母分散の検定」の解説

◆例2-1:母平均が既知の場合 S社は団子を作るアルバイトを多数雇っている。S社のアルバイトの作る団子の重さの平均値(μ0)は74.1g,分散（σ0）は1.2 g2であった。新しいバイトMさんに試しに5個、団子を作ってもらったところ1個目74.1 g,2個目74.2g, 3個目74.1 g,4個目73.9 g,5個目73.9 gであった。このとき、H1「Mさんが作る団子はS社のアルバイトの中でばらつきが少ない」言えるか? 自由度5の上側カイ二乗検定において、有意水準pで帰無仮説を棄却することを考えた場合、p=0.05,p=0.01の場合の帰無仮説の採択範囲は以下のようになる。 p=0.05のとき、「=CHIINV((1-0.05),5)」の計算値(Excel)は「1.145476226」なので1.15≦χ2が帰無仮説の採択範囲。 p=0.01のとき、「=CHIINV((1-0.01),5)」の計算値(Excel)は「0.554298077」なので0.55≦χ2が帰無仮説の採択範囲。 題意の状況下において、検定統計量としてカイ二乗値を考えると、 χ 2 = ∑ i = 1 n ( X i − μ 0 ) 2 σ 0 2 これは、自由度5のカイ二乗分布に従う(n=5なので)。カイ二乗値を実際に計算すると、 χ 2 = 0.075 である。 従って、（Mさんが作った団子の重さの分散は0.0144 g2なので、一見ものすごくバラつきが少なくなったと見えるが、）p=0.05では「バラつきが少なくなった」といえるが、p=0.01では「バラつきが少なくなった」とは言えない。 ◆例2-2:母平均が未知の場合S社は団子を作るアルバイトを多数雇っている。S社のアルバイトの作る団子の重さの平均値(μ0)は不明,分散（σ0）は1.2 g2であった。新しいバイトMさんに試しに5個、団子を作ってもらったところ1個目74.1 g,2個目74.2g, 3個目74.1 g,4個目73.9 g,5個目73.9 gであった。このとき、H1「Mさんが作る団子はS社のアルバイトの中でばらつきに変化が出た」と言えるか? 自由度4の両側tカイ二乗検定において、有意水準pで帰無仮説を棄却することを考えた場合、p=0.05,p=0.01の場合の帰無仮説の採択範囲は以下のようになる。 α=0.05のとき、「=CHIINV(0.05/2,4)」の計算値(Excel)は「11.14328678」であり、「=CHIINV((1-0.05/2),4)」の計算値(Excel)は「0.484418557」であるため、帰無仮説の採択範囲は、0.484418557≦χ2≦11.14328678 α=0.01のとき、「=CHIINV(0.01/2,4)」の計算値(Excel)は「14.860259」であり、「=CHIINV((1-0.01/2),4)」の計算値(Excel)は「0.206989093」であるため、帰無仮説の採択範囲は、0.206989093≦χ2≦14.860259 新しいバイトMさんが作った5個の団子の重さの平均値(μ)は、 μ=74.04 g 題意の状況下において、検定統計量としてカイ二乗値を考えると、 χ 2 = ∑ i = 1 5 ( X i − μ ) 2 σ 0 2 これは、自由度4のカイ二乗分布に従う(n=5なので)。カイ二乗値を実際に計算すると、 χ2=0.06 従って、p=0.05でも、p=0.01でも「バラつきに変化があった」と言える。