母函数による特徴付け
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
「二項型多項式列」の記事における「母函数による特徴付け」の解説
二項型多項式列はちょうど ∑ n = 0 ∞ p n ( x ) n ! t n = e x f ( t ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}} の形の形式冪級数を母函数に持つ（収束性は問わない）。ただし、f(t) は定数項（英語版）が零で、かつ一次の項が非零であるような形式冪級数である。このことは、ファア・ディ・ブルーノの公式（英語版）の冪級数版 f ( t ) = ∑ n = 1 ∞ p n ′ ( 0 ) n ! t n {\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over n!}\,t^{n}} によって示すことができる。この列のデルタ作用素は f−1(D) だから、 f − 1 ( D ) p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)} となる。
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