多重線型写像

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多重線型写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/28 09:29 UTC 版)

線型代数学において、多重線型写像（たじゅうせんけいしゃぞう、英: multi­linear map）は各変数ごとに線型な多変数関数である。正確には、多重線型写像は、$V_{1},\ldots ,V_{n}$ および W をベクトル空間（あるいは可換環上の加群）として、次の性質を満たす写像

$$f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W$$

である： 各 i に対して、v_i を除くすべての変数を固定して変化させないとき、$f(v_{1},\ldots ,v_{n})$ は v_i に関して線型である。

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多重線型写像

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/04 16:45 UTC 版)

「加群のテンソル積」の記事における「多重線型写像」の解説

環 R、右 R-加群 MR、左 R-加群 RN、アーベル群 Z に対して、M × N から Z への双線型写像 (bilinear map) あるいは平衡積 (balanced product) とは関数 φ: M × N → Z であってすべての m, m′ ∈ M、n, n′ ∈ N、r ∈ R に対して次の3条件が成り立つものである： φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n) φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′) φ(m · r, n) = φ(m, r · n). M × N から Z へのすべての双線型写像の集合は Bilin(M, N; Z) で表記される。 最後の性質はベクトル空間に対する定義とわずかに異なる。これは必要である；なぜならば Z はアーベル群であるとしか仮定されていないなので r · φ(m, n) は意味をなさない。 双線型写像 φ, ψ に対し演算を pointwise に定義すると φ + ψ は双線型写像であり −φ も双線型写像である。これは集合 Bilin(M, N; Z) をアーベル群にする。単位元は零写像である。 固定された M と N に対し、写像 Z ↦ Bilin(M, N; Z) はアーベル群の圏から集合の圏への関手である。射の部分は群準同型 g : Z → W を関数 φ ↦ g ∘ φ に写す — これは Bilin(M, N; Z) から Bilin(M, N; W) へ行く — ことで与えられる。