多重線形交代性による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/07 21:47 UTC 版)
「余因子展開」の記事における「多重線形交代性による証明」の解説
n次正方行列 A = (ai,j) の行列式を、第j列に沿って展開することを考える。 det A = | a 1 , 1 ⋯ a 1 , j ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ a i , 1 ⋯ a i , j ⋯ a i , n ⋮ ⋮ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , j ⋯ a n , n | = ∑ i = 1 n a i , j | a 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ a i , 1 ⋯ 1 ⋯ a i , n ⋮ ⋮ ⋮ a n , 1 ⋯ 0 ⋯ a n , n | = ∑ i = 1 n a i , j ⋅ ( − 1 ) ( i − 1 ) + ( j − 1 ) | 1 0 ⋯ 0 ˘ ⋯ 0 0 a 1 , 1 ⋯ a ˘ 1 , j ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ˘ a ˘ i , 1 ⋯ a ˘ i , j ⋯ a ˘ i , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 a n , 1 ⋯ a ˘ n , j ⋯ a n , n | = ∑ i = 1 n a i , j ⋅ ( − 1 ) i + j | a 1 , 1 ⋯ a ˘ 1 , j ⋯ a 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ a ˘ i , 1 ⋯ a ˘ i , j ⋯ a ˘ i , n ⋮ ⋮ ⋮ a n , 1 ⋯ a ˘ n , j ⋯ a n , n | = ∑ i = 1 n a i , j a ~ i , j ◼ {\displaystyle {\begin{aligned}\det A&={\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,j}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,j}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,j}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}\\&\\&=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\,a_{i,j}\,{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{i,1}&\cdots &1&\cdots &a_{i,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &0&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}\\&\\&=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\,a_{i,j}\,\cdot (-1)^{(i-1)+(j-1)}\,{\begin{vmatrix}\;1&0&\cdots &{\breve {0}}&\cdots &0\\\;0&a_{1,1}&\cdots &{\breve {a}}_{1,j}&\cdots &a_{1,n}\\\;\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\\;{\breve {0}}&{\breve {a}}_{i,1}&\cdots &{\breve {a}}_{i,j}&\cdots &{\breve {a}}_{i,n}\\\;\vdots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\\;0&a_{n,1}&\cdots &{\breve {a}}_{n,j}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}\\&\\&=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\,a_{i,j}\,\cdot (-1)^{i+j}\,{\begin{vmatrix}a_{1,1}&\cdots &{\breve {a}}_{1,j}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\{\breve {a}}_{i,1}&\cdots &{\breve {a}}_{i,j}&\cdots &{\breve {a}}_{i,n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &{\breve {a}}_{n,j}&\cdots &a_{n,n}\\\end{vmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i,j}\,{\widetilde {a}}_{i,j}\quad \blacksquare \end{aligned}}} 第i行に沿う展開も同様である。（証明終）
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