交代写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/27 23:02 UTC 版)
詳細は「重線型交代写像」、「重線型交代形式」、および「行列式」を参照 「交代テンソル」も参照 ここでは E が有限 n-次元であるとし、n-重線型交代形式（上の設定で k = n, F = K の場合）を考える。このとき、行列式の特徴づけ（ライプニッツの明示公式とは別の定義）を与えることができる。 E の基底を e1, …, en とし、各ベクトルを vj := ∑ni=1Xi,jei と分解すれば、上で見たことから f ( x 1 , … , x n ) = ∑ ( i 1 , … , i n ) ∏ j = 1 n X i j , j f ( e i 1 , … , e i n ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{n})}\prod _{j=1}^{n}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})} と書けるが、f の交代性（したがって反対称性）により置換 σ := (i1, …, in) および置換の符号 ε(σ) によって f ( e i 1 , … , e i n ) = ε ( σ ) f ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})=\varepsilon (\sigma )f(e_{1},\dotsc ,e_{n})} と書き直せるから f ( x 1 , … , x n ) = ( ∑ σ ∈ S n ε ( σ ) ∏ j = 1 n X σ ( j ) , j ) f ( e 1 , … , e n ) = det ( x 1 , … , x n ) ⋅ f ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{n})&={\Bigl (}\color {red}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\color {black}{\Bigr )}f(e_{1},\dots ,e_{n})\\&=\color {red}{\det(x_{1},\dotsc ,x_{n})}\color {black}\cdot f(e_{1},\dotsc ,e_{n})\end{aligned}}} （二つ目の等号はライプニッツの明示公式による）が成り立つ。n-重交代形式 f は f ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle f(e_{1},\dotsc ,e_{n})} で決まるが、特に f ( e 1 , . . . , e n ) = 1 {\displaystyle f(e_{1},...,e_{n})=1} なるものとして行列式は特徴付けられる。 E が n-次元ならば、En 上の n-重線型交代写像の空間 An(E; F) は F に同型である。 E が n 次元で n > k のとき、Ek 上の k-重線型交代写像の空間 Ak(E; F) は F ( n k ) {\textstyle F^{\tbinom {n}{k}}} に同型である。 n < k のときは明らかに k-重交代写像は零写像のみである。
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