多重種数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/31 05:12 UTC 版)
次元 P n = h 0 ( V , K n ) = dim H 0 ( V , K n ) {\displaystyle P_{n}=h^{0}(V,K^{n})=\operatorname {dim} \ H^{0}(V,K^{n})} は、V の古典的に定義された n 番目の 多重種数 である。対応する因子の一次系（英語版）を通した多重標準因子 K n {\displaystyle K^{n}} は、射影空間 P ( H 0 ( V , K n ) ) = P P n − 1 {\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(V,K^{n}))=\mathbf {P} ^{P_{n}-1}} への写像を与え、この写像を n-標準写像(canonical map)と言う。 R の大きさは V の基本的な不変量であり、小平次元と呼ぶ。
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多重種数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 06:01 UTC 版)
ある体の上の次元 n の滑らかな（英語版） (smooth) 代数多様体 X の標準バンドルは、次の n-形式のラインバンドルである。X の余接バンドルの n 次の外冪である。 K X = ⋀ n Ω X 1 {\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1}} のことを標準バンドルと言う。整数 d に対し、KX の d 次テンソル積は、再び、ラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域切断 H0(X, KXd) のベクトル空間は、滑らかな射影多様体 X の双有理不変量であるという注目すべき性質を持っている。すなわち、より低い次元の部分集合を除き、X に同型な任意の滑らかな射影多様体のなす空間と、大域切断のなすベクトル空間は標準的に同一視できる． d ≥ 0 に対し、X の d 番目の 多重種数(plurigenus) は、KXd の大域切断のベクトル空間の次元として定義される。つまり、 P d = h 0 ( X , K X d ) = dim H 0 ( X , K X d ) {\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\operatorname {dim} \ H^{0}(X,K_{X}^{d})} である。 多重種数は代数多様体の重要な双有理不変量であり、特に、多様体が有理的でないこと（つまり、射影空間に双有理的でないこと）を証明する最も簡単な方法は、d > 0 なるある多重種数 Pd がゼロではないことを示すことである。もし、KXd の切断の空間がゼロでないならば、X から射影空間への自然な有理写像が存在して、 P ( H 0 ( X , K X d ) ) = P P d − 1 {\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1}} , となり、これを d-標準写像と言う。多様体 X の標準環 R(KX) は次数付き環で R ( K X ) := ⨁ d ≥ 0 H 0 ( X , K X d ) {\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d})} である。 脚注の算術種数と幾何種数、不正則数も参照のこと。 多重種数 Pd が全ての d > 0 に対して 0 となるとき、X の小平次元を −∞ であると定義する。そうでないとき、Pd/dκ が有界な最小値 κ となる。n-次元多様体の小平次元は −∞ もしくは、0 から n までの間の整数である。
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