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小平次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/11 06:01 UTC 版)

代数幾何学では、小平次元 (Kodaira dimension)（標準次元 (canonical dimension) とも呼ばれる） κ(X) で射影多様体 X の標準モデル (canonical model) の大きさを測る。

脚注

^ n 次元の複素射影多様体の算術種数は、ホッジ数の線型結合で定義することができる。すなわち、
p_a = h^n,0 − h^{n − 1, 0} + ... + (−1)^{n − 1}h^{1, 0}
である。n = 1 のときは、χ = 1 − g であり、ここに g は普通の（トポロジカルな）意味での曲面の種数であり、この定義と整合性を持っている。コンパクトなケーラー多様体 M に対しては、h^p,q = h^q,p を使い、このことが構造層 ${\mathcal {O}}_{M}$ の連接コホモロジーのオイラー標数として再現される。
$p_{a}=(-1)^{n}(\chi ({\mathcal {O}}_{M})-1).\,$
^ 幾何種数は、複素射影多様体に対してホッジ数 h^n,0 として（セール双対性(Serre duality)により、h^0,n に等しい）、つまり標準線型系の次元として定義される。言い換えると、複素 n 次元多様体 V に対し、幾何種数は V 上の線型独立な正則 n-形式の数である。定義は、
H⁰(V, Ωⁿ)
であるので、任意の基礎体に対して定義できる。ここに Ω はケーラー微分形式の層と最も大きな次数の外積をとった標準バンドルである．
^ 曲面の場合は、幾何種数と算術種数の差異である
$p_{g}-p_{a}$
のことを不正則数と言い、射影空間に埋め込んだときに滑らかになるか否かの基準となるので、この名称が付いた。一般の次元の場合も、ホッジ数 h^0,1 = dim H¹(O_X) のことを、不正則数 q と言う。
^ J. A. Chen and M. Chen, Explicit birational geometry of 3-folds and 4-folds of general type III, Theorem 1.4.
^ O. Fujino and S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Theorems 5.2 and 5.4.
^ モアシェゾン多様体 M とはコンパクトな複素多様体であって、M の各々の成分の有理型函数が、成分の複素次元に等しい超越次数を持っている場合を言う。すなわち、
${\text{dim}}_{\mathbb {C} }M=a(M)={\text{tr}}.{\text{deg}}._{\mathbb {C} }\mathbb {C} (M).$
の場合を言う。

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「小平邦彦」の記事における「小平次元」の解説

詳細は「小平次元」を参照 X は非特異射影多様体とする。m が十分に大きく十分割り切れるならば、 | m K X | : X → P {\displaystyle |mK_{X}|:X\to \mathbb {P} } の像の双有理同値は m の選択に依らない。この像の次元を X の小平次元という。

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小平次元

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「飯高次元」の記事における「小平次元」の解説

詳細は「小平次元」を参照滑らかな多様体の標準束の飯高次元は、小平次元と呼ばれる。

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