射影多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)
代数幾何学において、代数閉体 k 上の射影多様体（しゃえいたようたい、英: projective variety）とは、k 上の（n 次元）射影空間 Pn の部分集合であって、素イデアルを生成する k 係数 n + 1 変数斉次多項式の有限族の零点集合として書けるものをいう。そのようなイデアルは多様体の定義イデアルと呼ばれる。あるいは同じことだが、代数多様体が射影的であるとは、Pn のザリスキ閉部分多様体として埋め込めるときにいう。
注
- ^ この斉次イデアルは I の斉次化と呼ばれることがある。
- ^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
- ^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
- ^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10)： の脆弱分解 とその射影空間全体への零拡張を考える。
- ^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.
出典
- ^ Kollár & Moduli, Ch. I.
- ^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
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- ^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer, Theorem 21.3.
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- ^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
- ^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
- ^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pn}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
- ^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
- ^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
- ^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
- ^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
- ^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
- ^ Mumford 1970, p. 36.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Remark 7.15..
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
- ^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR0704986
射影多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/02 14:58 UTC 版)
「射影多様体」も参照 n-次元射影空間 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} は、2つの点が k のスカラー倍異なるとき、スカラー倍を同一視することにより、 A n + 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}} 内の 0 以外の点の同値類として定義される。多項式環 k [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]} の元は、任意の元が多項式の中で異なる値をとるという多くの表現を持っているので、 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 上の函数ではない。しかし、斉次多項式に対し、与えられた射影的点上で 0 をとるか 0 を取らないかという条件は、スカラー因子は多項式に影響しないので、well-defined である。従って、S が斉次多項式の集合であれば、 V ( S ) = { x ∈ P n ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ S } {\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}} と言ってもよい。 これと同じ事実がこれらの集合に対して成り立つかもしれない。ただし、「イデアル」という単語は「斉次イデアル」という単語に置き換えねばならない。すると、斉次多項式の集合 S に対して V(S) は、 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 上の位相を定義する。このように、これらの集合の補集合を D(S) あるいは、混乱がないならば、D′(S) と書く。 射影的なザリスキー位相は、アフィン多様体のザリスキー位相がアフィン代数的集合に対して部分空間の位相をとることにより定義されたことと同様に、射影的代数的集合に対して定義される。上記と同じ公式により、射影的座標環の元の集合により、ザリスキー位相が定義されることが示される。
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射影多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:20 UTC 版)
実数、複素数、四元数上の射影空間はコンパクト多様体である。実射影空間 RPn は n 次元多様体である。 複素射影空間 CPn は 2n 次元多様体である。 四元数射影空間（英語版） HPn は 4n 次元多様体である。 射影空間に関係する多様体はグラスマン多様体（英語版）、旗多様体（英語版）、スティーフェル多様体（英語版）を含む。
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