射影分解と射影次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/25 18:04 UTC 版)
加群 M に対し、各 Pi が射影加群であるような次の完全列 ⋯ → P n + 1 → d n + 1 P n → ⋯ → P 1 → d 1 P 0 → d 0 M → 0 {\displaystyle \cdots \to P_{n+1}{\overset {d_{n+1}}{\to }}P_{n}\to \cdots \to P_{1}{\overset {d_{1}}{\to }}P_{0}{\overset {d_{0}}{\to }}M\to 0} を M の射影分解という。特にすべての i ≥ 0 に対して Pi → Im di が射影被覆となるときは極小射影分解という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての i > n に対し Pi = 0 であるような射影分解を長さ n の射影分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の射影次元といい、存在しない場合は射影次元は ∞ という。ただし、{0} の射影次元は −1 とする。射影次元は pd(M) と書かれる。これは M の極小射影分解の長さに等しい。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。 pd(M) ≤ n. 任意の R-加群 X に対して、 Ext R n + 1 ( M , X ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(M,X)=\{0\}.} 任意の i ≥ n + 1 と任意の R-加群 X に対して、 Ext R i ( M , X ) = { 0 } . {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,X)=\{0\}.}
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