体の拡大

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体の拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/22 03:30 UTC 版)

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抽象代数学のとくに体論において体の拡大（たいのかくだい、英: field extension）は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。

体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の環）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。

以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。

定義

${\displaystyle {\begin{matrix}K\\|\\k\end{matrix}}}$

ガロア対応の例

ガロア拡大 (Galois extension) とは正規かつ分離的な拡大体のことである^[17]。体の拡大 K/k が与えられたとき、自己同型群 Aut(K/k) を考えることができる；これは k の各元を固定するすべての体の準同型からなる。ガロア拡大に対してはこの自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれる^[17]。またガロア群がアーベル群となるような拡大はアーベル拡大と呼ばれる。体の拡大が与えられたとき、その中間体にしばしば興味がある。ガロア拡大とガロア群の著しい特徴は中間体の記述が完全にできることである：ガロア理論の基本定理で述べられているように中間体とガロア群の部分群の間には全単射が存在する^[18]。

拡大の準同型

体の準同型というのは、体を単位的環とみなしたときの単位的環の準同型で、体の単純性から単射となるため通常は中への同型と呼ばれる。一方、拡大 K/k が与えられたとき、上の体 K に下の体 k が特別な構造として備わっていると考えて、K の自己準同型の中でも k に自明に作用するものが特別に扱われる（これは K を k 上の多元環とみたときの k-多元環の自己準同型である）。

K の自己準同型 f によって k の元が動かされないということは、k の零でない元が f で零に写されることが無いので、そのような f は零準同型にならず、さらに拡大 K/k が有限次拡大ならば、f は上への同型になる。k の元を動かさない K の自己同型を、K における k 上の同型あるいは k-同型という^[19]。また、拡大 K/k 上の自己同型ということもある。K の k 同型全体を Aut(K/k) または Aut_k(K) などで表す。Aut(K/k) は写像の合成を積として群をなし、K の k-自己同型群と呼ばれる。また、拡大 N/k が正規ならば k-自己同型群 Aut(N/k) を特に拡大 N/k のガロア群と呼んで、Gal(N/k) や G(N/k) と記す。

なお一般に二つの拡大 K/k と L/l があって、上の体の中への同型 f: K → L と下の体の中への同型 g: k → l が与えられるとき、

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad f\colon &K&\to &L\\&|&&|\\g=f|_{k}\colon &k&\to &l\end{matrix}}}$

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体の拡大

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)

「ベクトル空間」の記事における「体の拡大」の解説

複素数全体の成す集合 C, つまり実数 x, y を用いて x + iy の形に表すことができる数（ただし、i = √−1 は虚数単位）の全体は、x, y, a, b, c は何れも実数であるものとして、通常の和 (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) と実数倍 c(x + iy) = (cx) + i(cy) によって、実数体上のベクトル空間になる（ベクトル空間の公理は複素数の算術が同じ規則を満足するという事実から従う）。 実は、この複素数体の例は本質的には（つまり、同型の意味で）導入節に挙げた実数の順序対の成すベクトル空間の例と同じものである。即ち、複素数 x + iy を複素数平面 において順序対 (x, y) を表すものと考えると、複素数体における和とスカラーとの積の規則が、先の例のそれらに対応することが理解される。 より一般に、代数学および代数的数論における体の拡大は、ベクトル空間の例の一類を与える。即ち、体 F を部分体として含む体 E は、E における加法と F の元の E における乗法とに関して F-ベクトル空間になる。例えば、複素数体は R 上のベクトル空間であり、拡大体 Q(√−5) は Q 上のベクトル空間である。特に数論的に意味のある例は、有理数体 Q に一つの代数的複素数 α を添加する拡大（代数体）Q(α) である（Q(α) は Q と α とを含む最小の体になる）。