ベクトル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/23 14:30 UTC 版)
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、英: vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、英: linear space）は、ベクトル（英: vector）と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
注釈
- ^ ここではベクトルをスカラーから区別するために、ベクトルは太字で表す。あるいは、特に物理学で、矢印を上に載せる記法も広く用いられる。「ベクトルをラテンアルファベットで表し、スカラーはグリークアルファベット（ギリシャ文字）で表す」などの流儀や、場合によってはまったく文字種の区別をしないこともある。
- ^ この公理は演算の結合性を仮定するものではない。ここでは二種類の乗法、つまりスカラーの乗法 bv と体の乗法 ab との関係性を考えているからである。
- ^ 文献によっては（例えば Brown 1991）係数体を R か C に制限するものあるが、理論の大部分は変更なしに任意の体上で成り立つものである
- ^ 例えば、（無数に存在する）区間の指示函数はどれも線型独立である。
- ^ この術語は、「自身の」とか「固有の」という意味のドイツ語 „eigen“ に由来する。
- ^ Roman 2005, p. 140, ch. 8. ジョルダン・シュバレー分解も参照。
- ^ 書籍によっては（Roman 2005など）この同値関係から話を始めて、それを使って V/W の具体形を導き出す形をとるものもある
- ^ この仮定からは、得られる位相が一様構造を持つことが導かれる。Bourbaki 1989, ch. II
- ^ |•|p に関する三角不等式はミンコフスキーの不等式から得られる。技術的な理由から、この文脈ではほとんど至る所一致する函数は互いに同一視する。こうすれば上記の「ノルム」は半ノルムなだけでなく本当にノルムを与える。
- ^ 「L2 に属する多くの函数はルベーグ測度が有界でなく、古典的なリーマン積分では積分することができない。故にリーマン可積分函数の空間は L2-ノルムに関して完備にならず、また それらに対する直交分解も適用できない。これはルベーグ積分の優位性を示すものである」Dudley 1989, p. 125, sect. 5.3
- ^ p ≠ 2 のとき Lp(Ω) はヒルベルト空間でない。
- ^ ヒルベルト空間の基底というのは、既に述べた線型代数学的な意味での基底と同じものを意味しない。区別のためには、後者はハメル基底と呼ばれる。
- ^ フーリエ級数は周期的だが、この手法は任意の区間上の L2-函数に対して、函数を区間の外側へ周期的に延長することによって適用できる。Kreyszig 1988, p. 601
- ^ これは BSE-3 2001 が言うには、接点 P を通る平面であって、曲面上の点 P1 とこの平面との距離が、曲面に沿って P1 を P に近づけた極限での P1 と P との距離よりも無限に小さいようなものである。
- ^ つまり、π−1(U) から V × U への準同型で、その制限がファイバーの間の同型となるものが存在する。
- ^ S1 の接束のような線束が自明となる必要十分条件は、至る所消えていない切断が存在することである（Husemoller 1994, Corollary 8.3 を参照）。接束の切断というのは、ベクトル場に他ならない。
出典
- ^ Roman 2005, p. 27, ch. 1.
- ^ “ベクトル空間とは、集合 V と次の公理 (A1)-(A4) と (M1)-(M4) を満たす写像 +: V × V → V, ◦: R × V → V からなる三組 (V, +, ◦) である。” 名古屋大学『線形代数学 IⅠ 授業1: ベクトル空間』2014年。
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