選好 効用関数（選好関係の効用表現）

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選好

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/01 04:01 UTC 版)

効用関数（選好関係の効用表現）

任意の$a,b\in S$について$a\succsim b\iff u(a)\geq u(b)$を満たす関数$u:S\to \mathbb {R}$を「選好関係$\succsim$を表現する効用関数」と言う。効用関数の値$u(x)$は経済主体にとっての選択$x$の主観的な好ましさを表していると解釈できる。

効用関数の存在

選好関係$\succsim$が合理性を満たす（すなわち、完備性と推移性を満たす）ことは、$\succsim$を表現する効用関数が存在するための必要条件である。

選択肢の集合$S$が有限の場合、選好関係$\succsim$が合理性を満たすならば、$\succsim$を表現する効用関数が存在する。 したがって、選好関係が合理性を満たすことは、選好関係を表現する効用関数が存在するための必要十分条件である。

選択肢の集合が無限の場合、$\succsim$が合理性を満たしていても、$\succsim$を表現する効用関数が存在しない場合がある。例えば、選択肢の集合$S$がn次元の実数の集合$\mathbb {R} ^{n}$である場合、その選択肢の集合上の辞書式選好（英語: Lexicographic preferences）は合理性を満たすが、それを表現する効用関数は存在しない。選好関係$\succsim$が合理性に加えて連続性を満たしていれば、$\succsim$を表現する効用関数が存在する。ただし、選好関係が連続性を満たさなくても選好関係を表現する効用関数が存在する場合があるので、合理性と連続性を満たすことは効用関数が存在するための十分条件ではあっても必要条件ではない。

選好関係と効用関数の関係

効用表現が存在する場合の選好関係と効用関数の各性質の対応関係は次の表にまとめられる。

選好関係と効用関数の関係

選好関係の性質	$\succsim$は合理性を満たす	$\succsim$は連続性を満たす	$\succsim$は単調性を満たす	$\succsim$は凸性を満たす
効用関数の性質	$u$は実数値関数	$u$は連続関数	$u$は増加関数	$u$は準凹関数

効用表現を用いることの利点

選択可能な選択肢の集合を$X\subset S$とする。経済主体の選好関係$\succsim$が合理性の仮定を満たすとき、選好関係の定義から、経済主体は

$\{x\in X|\forall x'\in X(x\succsim x')\}$

に含まれる選択肢を選択する。つまり、経済主体は選択可能な選択肢の集合の中で最も選好される選択肢を選択する（合理的行動）。選好関係$\succsim$を用いた上記の表現では選択可能な選択肢の集合が変化した際の経済主体の行動の変化を分析するのは技術的に難しい。他方、効用表現$u$を用いると$X\subset S$に直面した経済主体の行動は

$\max _{x\in X}u(x)$

と定式化することができ(効用最大化問題)、効用関数$u$が微分可能であれば解析的な手法によって比較的容易に分析することが可能である。