連分数 連分数の性質

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連分数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/12 04:49 UTC 版)

連分数の性質

いま、a₀ は整数、それ以外の a_n は正の整数であるような数列

$a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$

があるとき、数列 p_n, q_n を以下のように定める。

${\begin{cases}p_{0}=1\\p_{1}=a_{0}\\p_{n}=a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}\quad {\begin{cases}q_{0}=0\\q_{1}=1\\q_{n}=a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}$

このとき、連分数は

$[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}]={\frac {a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}$

となる。

p_n とq_n にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a₀, a₁, ... , a_n−1 のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 p_n, q_n の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。

また、p_n, q_n は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、p_n と q_n は互いに素である。つまり連分数 ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ は既約分数である。

さらに |p_n+1q_n − p_nq_n+1| = 1 である。また、p_n と p_n+1 および、q_n と q_n+1 も互いに素である。

なお数列a_n が全て 1 の場合、数列p_n, q_n はともにフィボナッチ数列 (F₀ = 0, F₁ = 1) である。すなわち

${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$

である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束することが分かる。