連分数による表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/25 10:23 UTC 版)
「ネイピア数の表現」の記事における「連分数による表現」の解説
e は様々な無限連分数で表現できる。超越数であるので循環節は持たないが、ある種の規則性が観察される。 I. e は単純な正則連分数で表現可能である: e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , … , 2n , 1 , 1 , … ] = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}e&=\left[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots \right]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}} II. 一般連分数による表現 e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}} III. (II) から連分数等価変換により得られる連分数 e = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}} IV. (II) から変換して得られるが、… 6, 10, 14, … という項を含み、収束が早い。 e = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ {\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}} V. この例は e の指数関数のうち特殊なケースである。 e 2 x / y = 1 + 2 x ( y − x ) + x 2 3 y + x 2 5 y + x 2 7 y + x 2 9 y + ⋱ {\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{(y-x)+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+\ddots \,}}}}}}}}}}}
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