連分数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/28 06:27 UTC 版)
いま、a0 は整数、それ以外の an は正の整数であるような数列 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } があるとき、数列 pn, qn を以下のように定める。 { p 0 = 1 p 1 = a 0 p n = a n − 1 p n − 1 + p n − 2 ( n ≥ 2 ) { q 0 = 0 q 1 = 1 q n = a n − 1 q n − 1 + q n − 2 ( n ≥ 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}p_{0}=1\\p_{1}=a_{0}\\p_{n}=a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}\quad {\begin{cases}q_{0}=0\\q_{1}=1\\q_{n}=a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}} このとき、連分数は [ a 0 ; a 1 , a 2 , … , a n − 1 ] = a n − 1 p n − 1 + p n − 2 a n − 1 q n − 1 + q n − 2 = p n q n {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}]={\frac {a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}} となる。 pn とqn にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a0, a1, ... , an−1 のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 pn, qn の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。 また、pn, qn は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、pn と qn は互いに素である。つまり連分数 p n q n {\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}} は既約分数である。 さらに |pn+1qn − pnqn+1| = 1 である。また、pn と pn+1 および、qn と qn+1 も互いに素である。 なお数列an が全て 1 の場合、数列pn, qn はともにフィボナッチ数列 (F0 = 0, F1 = 1) である。すなわち p n q n = F n + 1 F n {\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}} である。そして、上で記したようにこの連分数は黄金比に収束する。ゆえに隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比に収束することが分かる。
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