連分数展開の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/28 06:27 UTC 版)
例として黄金数 φ を考える。φ は x2 − x − 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、 x 2 = x + 1 x = 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&=x+1\\x&=1+{\frac {1}{x}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}}}\end{aligned}}} 以下同様にして、 ϕ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ⋱ = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ] {\displaystyle \phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[1;1,1,1,1,1,\ldots ]} と表すことができる。 より一般的には、x2 − nx = 1 の正の解を次のように表すことができる。 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + ⋱ = [ n ; n , n , n , n , … ] = 1 2 ( n + n 2 + 4 ) {\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4}}\right)}
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