ロジャース＝ラマヌジャン連分数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 06:17 UTC 版)
「ロジャース＝ラマヌジャン恒等式」の記事における「ロジャース＝ラマヌジャン連分数」の解説
|q|<1 に対し、 R ( q ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ {\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}} で定義される連分数をロジャース＝ラマヌジャン連分数という。ロジャース＝ラマヌジャン恒等式に現れる無限乗積を G ( q ) = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 4 ) ( 1 − q 5 n − 1 ) {\displaystyle G(q)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}}} H ( q ) = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 3 ) ( 1 − q 5 n − 2 ) {\displaystyle H(q)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-3})(1-q^{5n-2})}}} とおくと、 R ( q ) = q 1 / 5 H ( q ) G ( q ) {\displaystyle R(q)=q^{1/5}{\frac {H(q)}{G(q)}}} が成り立つ。この結果はロジャースによって、示された。ラマヌジャンは R(q) の満たす関係式として、 R ( e − 2 π ) = 5 + 5 2 − 1 + 5 2 {\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}} や u=R(q)、v=R(q5) としたときに、 u 5 = v 1 − 2 v + 4 v 2 − 3 v 3 + v 4 1 + 3 v + 4 v 2 + 2 v 3 + v 4 {\displaystyle u^{5}=v{\frac {1-2v+4v^{2}-3v^{3}+v^{4}}{1+3v+4v^{2}+2v^{3}+v^{4}}}} が成り立つことを導いており、ハーディに送った最初の手紙に記している。これらの関係式について、ハーディは“これらと少しでも似通ったものを今まで見たことはなかった。一瞥しただけで、最高級の数学者のみが書き下せるものであることを示すのに十分である。それらは正しいに違いない。もし正しくないとすれば、一体誰がそんなものを捏造するだけの想像力を持ちあわせているというのか。”と述べている。
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