軌道角運動量 軌道角運動量の自乗

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軌道角運動量

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/02 13:20 UTC 版)

軌道角運動量の自乗

定義

軌道角運動量の二乗を

${\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}=({\hat {L}}_{x})^{2}+({\hat {L}}_{y})^{2}+({\hat {L}}_{z})^{2}$

と定義する。

交換関係

この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である：

$[{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{x}]=[{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{y}]=[{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{z}]=0$

極座標表示

極座標で書き表すと：

${\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)$

である。

ラプラシアンとの関係

実はこれはラプラシアンの極座標表示と関係がある。すなわちラプラシアンを極座標表示して

$\Delta ={1 \over r^{2}}(\Delta _{r}+\Delta _{S})$　

と動径方向と球面方向にわけると、

$\Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)$ 、$\Delta _{S}=-{1 \over \hbar ^{2}}{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}$

が成立する。