状態密度 分散関係

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状態密度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/09 00:50 UTC 版)

分散関係

粒子の運動エネルギーは波数ベクトル k の大きさと向きに依存する。たとえばフェルミ気体中の電子の運動エネルギーは以下のように得られる。

$E=E_{0}+{\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$

図2:単原子鎖フォノンの分散関係

原子鎖の縦モードフォノンの分散関係は、図2に示すような 1 次元 k 空間上の運動エネルギーについての関数となり、数式で表わすと以下のようになる。

$E=2\hbar \omega _{0}|\sin(ka/2)|$

Figure 3: Free-electron DOS in 3-dimensional k-space

フェルミ気体中の自由電子などのように分散関係が放物線を描く (p = 2) 場合、n 次元系における状態密度 $D_{n}\left(E\right)$ は以下のようになる。

$D_{1}\left(E\right)={\frac {1}{\sqrt {c_{k}(E-E_{0})}}}$

$D_{2}\left(E\right)={\frac {\pi }{c_{k}}}$

$D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}$

ここで $E>E_{0}$ とし、$D(E)=0$ と $E<E_{0}$ の場合はする。

1 次元系では DOS は E が E₀ に落ちる際に発散する。2 次元系では E に依存しなくなる。3 次元系では状態密度はエネルギーの平方根に比例して増加する。

係数部分を全て書き下すと、3 次元系における DOS は以下のように書ける。

$N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}$

ここで V は総体積であり、N(E−E₀) には2重のスピン縮退を含む。

線形分散関係

光子や音響フォノン、特定の固体中の電子バンドのように分散関係が線形 (p = 1) のとき、1、2、3 次元系におけるエネルギーに対する DOS はそれぞれ以下のようになる。

$D_{1}\left(E\right)={\frac {1}{c_{k}}}$

$D_{2}\left(E\right)={\frac {2\pi }{c_{k}^{2}}}\left(E-E_{0}\right)$

$D_{3}\left(E\right)={\frac {4\pi }{c_{k}^{3}}}\left(E-E_{0}\right)^{2}$