正十二面体 正十二面体の概要

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正十二面体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/17 15:43 UTC 版)

正十二面体
種別	正多面体、十二面体
面形状	12枚の正五角形
辺数	30
頂点数	20
頂点形状	53
シュレーフリ記号	{5, 3}
ワイソフ記号	3 | 2 5
対称群	Ih
双対多面体	正二十面体
特性	凸集合
展開図
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正十二面体投影図（辺心図）

性質

• ねじれ双五角錐の両頭頂点を切った立体（Truncated pentagonal trapezohedron）の、特殊な形。
• 向かい合う面は平行である。
• 正十二面体の一辺と外接立方体の一辺の比はおよそ 1 : 2.618
• 二面角 116.56505° = arccos(−1/√5)
• 展開図の数は43380種類。
• 面の数は12、辺の数は30、頂点の数は20。
• 頂点形状は正三角錐であり、3本の辺と3枚の正五角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字に等しい。
• 正二十面体と双対である。

計量

面の面積	${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,a^{2}}$	${\displaystyle A={1 \over 4}{\sqrt {5(4\phi +3)}}\,a^{2}}$
表面積	${\displaystyle S=12A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,a^{2}}$	${\displaystyle S=12A=3{\sqrt {5(4\phi +3)}}\,a^{2}}$
体積	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sr={1 \over 4}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sr={1 \over 2}(7\phi +4)a^{3}}$
最長対角線の長さ	${\displaystyle d={1 \over 2}{({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}})a}}$	${\displaystyle d={{\sqrt {3}}\phi }a}$
外接球半径	${\displaystyle R={\frac {d}{2}}={1 \over 4}{({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}})a}}$	${\displaystyle R={1 \over 2}{{\sqrt {3}}\phi }a}$
内接球半径	${\displaystyle r={\sqrt {25+11{\sqrt {5}} \over 40}}\,a}$	${\displaystyle r={3\phi +2 \over 2{\sqrt {4\phi +3}}}a}$

頂点、辺、面の座標

以下は、標準的な座標の取り方の一つである。ここで ${\displaystyle \phi }$ は黄金比 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 、 ${\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3}=\pm 1}$ である。

20個の頂点（原点からの距離 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$）の座標

• ${\displaystyle (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3})}$ の8個
• ${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,\epsilon _{3}\phi ^{-1})}$ のxyz座標を偶置換した 12個

30個の辺（長さ${\displaystyle 2\phi ^{-1}}$）の、両端点および中心の座標

• 両端点 ${\displaystyle (\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3})}$と${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,\epsilon _{3}\phi ^{-1})}$、中心 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\epsilon _{1},\epsilon _{2}\phi ^{2},\epsilon _{3}\phi )}$ のxyz座標を偶置換した 24個
• 両端点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,\phi ^{-1})}$と${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,-\phi ^{-1})}$、中心${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,0)}$ のxyz座標を偶置換した 6組

12個の面の、反時計回りの頂点および中心の座標

• 頂点 ${\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,\epsilon _{3}\phi ^{-1})}$, ${\displaystyle (-\epsilon _{2}\epsilon _{3},\epsilon _{2},\epsilon _{3})}$, ${\displaystyle (-\epsilon _{2}\epsilon _{3}\phi ^{-1},0,\epsilon _{3}\phi )}$, ${\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3}\phi ^{-1},0,\epsilon _{3}\phi )}$, ${\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3},\epsilon _{2},\epsilon _{3})}$、中心 ${\displaystyle {\frac {\phi +2}{5}}(0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\phi )}$ のxyz座標を偶置換した 12個