明示公式 ヴェイユの明示公式

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明示公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/07 08:40 UTC 版)

ヴェイユの明示公式

明示公式の記述の方法にはいくつかの少し異なる方法がある。ヴェィユの明示公式の形は、次の形である。

${\begin{aligned}&{}\quad \Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}(F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})))-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}$

ここに、

• ρ はゼータ函数の非自明な零点を渡る。
• p は正の素数を渡る。
• m は正の整数を渡る。
• F はその全ての微分が急減少する滑らかな函数である。
• $\varphi$ は F のフーリエ変換である。

$\varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx$

• $\Phi (1/2+it)=\varphi (t)$
• $\Psi (t)=-\log(\pi )+Re(\psi (1/4+it/2))$ , ここに、$\psi$ はディガンマ函数 $\Gamma '/\Gamma$ である。

大まかには、明示公式は、ゼータ函数の零点のフーリエ変換が素数べきの集合にいくつかの基本的要素を加えたものと言うことができる。

公式の中の項は次のように現れる。

• 右辺の項は次の対数微分から来る。

$\zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

項は p のオイラー要素から来る素数 p へ対応していて、最後の項は Ψ を意味していてガンマ要素（無限遠点のオイラー要素）から来る。

• 左辺は全ての乗法について数え上げられた ζ ^* の全ての零点を渡る和であるので、0 と 1 での極は、オーダー −1 として数え上げられる。