微分同相写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/29 03:17 UTC 版)

定義

2 つの多様体 M と N が与えられたとき、可微分写像 f: M → N は全単射かつ逆写像 f⁻¹: N → M も可微分なとき微分同相（写像） (diffeomorphism) と呼ばれる。この関数が r 回連続微分可能であれば、f は C^r（級）微分同相（写像） (C^r-diffeomorphism) と呼ばれる。

2 つの多様体 M と N が微分同相 (diffeomorphic) である（記号では通常 ≃）とは、M から N への微分同相写像 f が存在するということである。それらが C^r 微分同相 (C^r diffeomorphic) であるとは、それらの間の r 回連続微分可能な全単射が存在して逆写像もまた r 回連続微分可能であるということである。

多様体の部分集合の微分同相写像

多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$

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モデル例。 U, V が Rⁿ の連結開部分集合であって V は単連結なとき、可微分写像 f : U → V が微分同相写像 (diffeomorphism) であるとは、それが固有写像であり微分 Df_x : Rⁿ → Rⁿ が各点 x ∈ U において全単射であるということである。

Remark 1. 関数 f が（その微分が各点で全単射という条件だけのもとでは）大域的に可逆であるためには V が単連結であることは本質的である。例えば、複素平方関数の「実化」
${\begin{cases}f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy)\end{cases}}$

を考えよう。すると f は全射であり

$\det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0$
を満たすので Df_x は各点で全単射だが f は可逆でない、なぜなら単射でないからだ、例えば f(1,0) = (1,0) = f(−1,0)。

Remark 2. （微分可能関数に対して）各点での微分
$Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V$
は線型写像であるから well defined な逆関数を持つことと Df_x が全単射であることは同値である。Df_x の行列表現は i-行目と j-列目の成分が $\partial f_{i}/\partial x_{j}$ であるような一階偏微分の n × n 行列である。しばしばこのいわゆるヤコビ行列を明示的な計算に対して使う。

Remark 3. 微分同相写像は同じ次元の多様体間でなければならない。仮に f が n 次元から k 次元に行っていると想像しよう。n < k であれば Df_x は全射にはなり得ず n > k であれば Df_x は単射にはなり得ない。なのでどちらの場合にも Df_x は全単射にならない。

Remark 4. Df_x が x において全単射であれば f は局所微分同相写像 (local diffeomorphism) であるという（なぜならば連続性によって x に十分近いすべての y に対して Df_y もまた全単射になるからである）。

Remark 5. 次元 n から次元 k への滑らかな写像が与えられると、Df (resp. Df_x) が全射であれば、f は沈めこみ (submersion) (resp. 局所沈めこみ (local submersion)) と言い、Df (resp. Df_x) が単射であれば f ははめ込み (immersion) (resp. 局所はめ込み (local immersion)) と言う。

Remark 6. 可微分全単射は微分同相とは限らない、例えば f(x) = x³ は R から自身への微分同相ではない、なぜならば微分が 0 において消える（したがって逆関数が 0 において微分可能でない）からである。これは微分同相でない同相写像の例である。

Remark 7. （f が可微分多様体の間の写像であるとき）f が微分同相写像であることは f が同相写像であることよりも強い条件である。微分同相写像に対して f とその逆関数が可微分である必要がある。同相写像に対しては f とその逆関数が連続であることを要求するだけである。したがってすべての微分同相写像は同相写像であるが、逆は間違いである：すべての同相写像が微分同相写像であるわけではない。

さて f : M → N は座標チャートにおいて上の定義を満たすとき微分同相写像 (diffeomorphism) と呼ばれる。より正確には、協調的な座標チャートによって M の任意の被覆を選び、N についても同じことをする。φ と ψ をそれぞれ M と N 上のチャートとし、U を φ の像とし V を ψ の像とする。このとき条件は写像 ψfφ⁻¹ : U → V が（意味を持つときにはいつでも）上の定義の意味で微分同相写像であるというものである。2つの与えられたアトラスのチャート φ, ψ のすべての対に対してそれを確認しなければならないが、一度確認されてしまえば、任意の他の協調的なチャートに対しても正しくなる。再び次元は一致しなければならないことがわかる。