上半平面 双曲モデル

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上半平面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/03 04:36 UTC 版)

双曲モデル

ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が

${\frac {d(z{\bar {z}})}{|\Im z|^{2}}}$

で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を単位円板

$D=\{z\in \mathbb {C} \mid z{\bar {z}}<1\}$

に写す正則な全単射

${\mathfrak {H}}\ni z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}\in D$

$D\ni w\mapsto {\frac {1+w}{1-w}}i\in {\mathfrak {H}}$

が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量

${\frac {d(z{\bar {z}})}{(1-|z|)^{2}}}$

をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。