三角不等式

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/12 01:08 UTC 版)

距離空間の場合

距離空間 $M$ の距離函数を $d$ とすれば、三角不等式

d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\quad (\forall x,y,z\in M)

は距離函数の定義要件の一つである。つまり、 $x$ から $z$ までの距離は、 $x$ から $y$ への距離と $y$ から $z$ までの距離の和で上から押さえられる。

三角不等式は距離空間上の興味の大半を占める収束性に関わっている。これは距離函数の残りの要件が比較的単純なことによる。例えば距離空間における任意の収束列がコーシー列であるという事実は三角不等式からの直接の帰結である。なんとなれば $x n$ および $x m$ を（距離空間における収束の定義にある通りの）任意の $ε > 0$ に対して $d (x n, x) < ε /2$ および $d (x m, x) < ε /2$ なるようにとれば、三角不等式により $d (x n, x m) \leq d (x n, x) + d (x m, x) < ε /2 + ε /2 = ε$ となり、点列 ${x n}$ は定義によりコーシー列である。

ノルム空間を、ノルムの誘導する距離函数 $d (x, y) ≔ ‖ x - y ‖$ のもとで距離空間とみて、 $x - y$ は始点 $y$ から終点 $x$ へ結んだベクトルと解釈するとき、この空間の距離空間としての三角不等式は、前節で述べたノルム空間の場合の三角不等式に帰着される。

注

注釈

^ $z$ が最大辺でないときはむしろ明らか: $z \leq max(x, y) < x + y .$
^ 例えば、平面に $ℓ 1$ -ノルム（つまりマンハッタン距離）を入れて、 $x = (1, 0)$ および $y = (0, 1)$ を取れば、三点 $x$ , $y$ , $x + y$ の成す三角形は非退化だが $‖ x + y ‖ = 2 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ を満たす。