三角不等式

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/12 01:08 UTC 版)

ノルム線型空間の場合

ノルム空間 $V$ に対して、ノルムを定義する性質の一つが三角不等式

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad (\forall \,x,y\in V)

である。つまり、二つのベクトルの和（英語版）のノルムは、その二つのベクトルそれぞれの長さの和で抑えられる。これを劣加法性と呼ぶこともある。ノルムとして振る舞うことが期待される任意の函数はこの要件を満足しなければならない^[8]

ノルム空間がユークリッド空間あるいはより一般の狭義凸空間ならば、 $‖ x + y ‖ = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ となるための必要十分条件は、三点 $x, y, x + y$ の成す三角形が退化していること、すなわち $x, y$ が同一半直線上にあることである。式で書けば、 $x = 0$ または $y = 0$ または $x = αy (\exists α > 0$ となる。この性質は狭義凸ノルム空間（例えば $ℓ p$ -空間 ( $1 < p < \infty$ ) など）を特徴付ける。しかしこれが成立しないノルム空間も存在する^{[注釈 2]}。

注

注釈

^ $z$ が最大辺でないときはむしろ明らか: $z \leq max(x, y) < x + y .$
^ 例えば、平面に $ℓ 1$ -ノルム（つまりマンハッタン距離）を入れて、 $x = (1, 0)$ および $y = (0, 1)$ を取れば、三点 $x$ , $y$ , $x + y$ の成す三角形は非退化だが $‖ x + y ‖ = 2 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ を満たす。