三角不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/12 01:08 UTC 版)
逆三角不等式
三角不等式が上からの評価であるのに対し、下からの評価を与える逆向きの三角不等式 (reverse triangle inequality) は三角不等式からの初等的な帰結として得られる。それは平面幾何の言葉で言えば「三角形の任意の辺は、その他の二辺の差よりも大きい」[9]ということができる。ノルム空間の場合には
あるいは距離空間の場合には |d(y, x) − d(x, z)| ≤ d(y, z) ということになる。これはノルム ‖ • ‖ や距離函数 d(x, •) がリプシッツ定数 1 のリプシッツ連続函数となることを示すもので、したがって特に一様連続である。
逆三角不等式は通常の三角不等式を用いて証明できる:
に注意すれば
注釈
出典
- ^ Weisstein, Eric W. "Triangle Inequality". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Khamsi & Kirk 2001, p. 8, §1.4 The triangle inequality in ℝn.
- ^ Brock, Trinkle & Ramos 2009, p. 195.
- ^ Ramsay & Richtmyer 1995, p. 17.
- ^ Jacobs 2003, p. 201.
- ^ David E. Joyce (1997年). “Euclid's elements, Book 1, Proposition 20”. Dept. Math and Computer Science, Clark University. 2010年6月25日閲覧。
- ^ Stillwell 1997, p. 95.
- ^ Kress 1988, p. 26, §3.1: Normed spaces.
- ^ anon. 1854, p. 196, Exercise I. to proposition XIX—"Any side of a triangle is greater than the difference between the other two sides"
三角不等式と同じ種類の言葉
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