有限加法族

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有限加法族

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/26 13:59 UTC 版)

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数学において、有限加法族（ゆうげんかほうぞく、英: finitely additive class, finitely additive family）あるいは集合体（しゅうごうたい、英: field of sets）、集合代数（しゅうごうだいすう、英: algebra of sets, algebra over a set）とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2^S) は、F の任意の二つの集合 A, B の結び A ∪ B, 交わり A ∩ B および任意の集合 M の全体集合 S に対する補集合 M^∁ = S − M を取る操作について閉じている。有限加法族は、任意のブール代数を表現することができるという意味において、ブール代数の表現論にとって本質的な対象である。S 上の集合体 (S, F) に対して、S の元を集合体の点、F の元を集合体の複体（英: complex; 叢）と呼ぶ。

定義

空でない集合 S 上の部分集合族 M ⊂ 2^S が和 ∪ と補集合をとる集合演算 c について閉じていて、和 ∪ に関する中立元 ∅ を持つとき、M を有限加法族または単に加法族と呼ぶ。

1. A₁, A₂ ∈ M ⇒ A₁ ∪ A₂ ∈ M,
2. A ∈ M ⇒ A^c ∈ M,
3. ∅ ∈ M.

また、M ⊂ 2^S が積 ∩ と対称差 Δ について閉じていて、積 ∩ に関する中立元 S を含むとき、M を集合体と呼ぶ。

1. A₁, A₂ ∈ M ⇒ A₁ ∩ A₂ ∈ M,
2. A₁, A₂ ∈ M ⇒ A₁ Δ A₂ ∈ M,
3. S ∈ M.

有限加法族の条件は加法的な一つの演算 ∪ に関する構造に注目していて、集合体のほうは積 ∩ と対称差 Δ の二つの演算がつくる集合環の構造に注目しての命名であるが、この二つの定義の条件は互いに同値であり、これらはまったく同じ概念を定める。また、これら（が含む集合環の）の条件から帰納的に

• ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \mathbf {M} \Rightarrow \bigcup _{k=1}^{n}A_{i}\in \mathbf {M} }$