相似次元

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相似次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/18 01:25 UTC 版)

相似次元（そうじじげん、similarity dimension）は、図形の自己相似性に注目した次元の定義である。人工的な自己相似図形に対して次元を求める場合に用いる。人工的な自己相似図形以外の図形（実際の自然界に存在する図形など）に対しても相似次元の概念を適用できるように定義を拡張した次元として、容量次元がある。

定義

通常のユークリッド次元との整合性: ユークリッド次元 D の自己相似図形は相似比 1/r の小図形を N = r^D 個用いて復元される。

自己相似図形の相似次元は、縮小図形をいくつ集めると元の図形を復元できるかという観点から定義される。ある図形を r 分の 1 の相似比で縮小したとき、元の図形を復元するために必要な縮小図形の個数を N = N(1/r) とする。このとき、

$N\!\left({\frac {1}{r}}\right)=\left({\frac {1}{r}}\right)^{-D_{s}}\iff D_{s}=\log(N(1/r))/\log(r)$

カントール集合

コッホ曲線

カントール集合の場合、元の図形を3分の1に縮小したものを2つ集めると元の図形に復元できる。そのため、

${\displaystyle 2=N\left({\frac {1}{3}}\right)=\left({\frac {1}{3}}\right)^{-D_{s}}}$ 整数次元

• 0次元
• 1次元
• 2次元
• 3次元
• 4次元
• 5次元
• 6次元 (6DoF)
• 7次元

ポリトープ

• 超平面
• 超曲面
• 超立方体
• 超球面
• 超矩形（英語版）
• 半超立方体（英語版）
• 正軸体
• 単体
• 多胞体 (Template:Polytopes)

その他

• 座標軸
• 測度論
• 2.5次元
• フラクタル幾何
• 自由度

Category:次元