ラプラス方程式

電気化学用語集

ラプラス方程式

定常状態の現象を記述する2階偏微分方程式で、ラプラシアンをゼロとおいた場合である。この方程式を満たす関数を調和関数という。正則関数の実部、虚部ともに調和関数である。2次元では下記のようにあらわされる。

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ラプラス方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 13:39 UTC 版)

ラプラス方程式（ラプラスほうていしき、英: Laplace's equation）は、2階線型の楕円型偏微分方程式

∇²φ = Δφ = 0

である。ここで、∇² = Δ はラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラスの演算子）である。なお、∇ についてはナブラを参照。ラプラス方程式は、発見者であるピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。

R³ の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる：

${\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\phi (x,y,z)+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\phi (x,y,z)=0.$ この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

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ラプラス方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/20 01:31 UTC 版)

「静電気学」の記事における「ラプラス方程式」の解説

電荷がない状態では、ポアソン方程式は ∇ 2 ϕ = 0 , となる。これをラプラス方程式とよぶ。