k-ベクトルのホッジスターの定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
「ホッジ双対」の記事における「k-ベクトルのホッジスターの定義」の解説
非退化な対称双線型形式（以下ではこれを内積とよぶ）を持つベクトル空間 V 上のホッジスター作用素(Hodge star operator)は、V の外積代数上の線型作用素であり、0 ≤ k ≤ n に対し、k-ベクトルを (n − k)-ベクトルに写すものである。 k-ベクトル上の内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、V 上の内積から、 k-ベクトル α = α 1 ∧ ⋯ ∧ α k {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \dots \wedge \alpha _{k}} と β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β k {\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \dots \wedge \beta _{k}} に対して、 ⟨ α , β ⟩ = det ( ⟨ α i , β j ⟩ ) {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle \right)} と定め、これを双線形に拡張することで得られる。 n-ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位n ベクトル ω には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより V 上の向き付けが決まる。 ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの k-ベクトル α, β が与えられたとき、 α ∧ ( ⋆ β ) = ⟨ α , β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge (\star \beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \omega } である。
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