ハイパー演算子 （ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算 、乗算 、冪乗 を一般化した演算 のための演算子 である。
表記の制約のため、以後丸 囲み文字(①,②,③,…)を丸かっこ 入り文字 (n ) で表すものとする。
加算演算子を上付き(1) (a + b = a (1) b )、乗算演算子を上付き(2) (ab = a (2) b )、冪乗演算子を上付き(3) (a b a (3) b )で表し、それらを一般の非負整数 n に一般化した上付き(n) (a (n) b ) がハイパー演算子である。
それらを関数形式で表す hypern 、n を変数とした3変数関数 hyper も定義される。hyper1は加算、hyper2は乗算、hyper3は冪乗であり、さらにhyper4はテトレーション (tetration)、hyper5はペンテーション (pentation)、hyper6はヘキセーション (hexation)･･･と呼ばれる。
n = 0 ~ 4 の例は次のとおり。
hyper0
(
a
,
b
)
=
hyper
(
a
,
0
,
b
)
=
a
(
0
)
b
=
b
+
1
hyper1
(
a
,
b
)
=
hyper
(
a
,
1
,
b
)
=
a
(
1
)
b
=
a
+
b
hyper2
(
a
,
b
)
=
hyper
(
a
,
2
,
b
)
=
a
(
2
)
b
=
a
b
=
a
+
a
+
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
+
a
+
a
⏟
長さ
b
=
∫
0
b
a
d
b
hyper3
(
a
,
b
)
=
hyper
(
a
,
3
,
b
)
=
a
(
3
)
b
=
a
b
=
a
↑
b
=
a
×
a
×
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
×
a
×
a
⏟
長さ
b
hyper4
(
a
,
b
)
=
hyper
(
a
,
4
,
b
)
=
a
(
4
)
b
=
b
a
=
a
↑↑
b
=
a
a
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
a
a
⏟
高さ
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {hyper0} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,0,b\right)=a^{\left(0\right)}b=&b+1\\\operatorname {hyper1} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,1,b\right)=a^{\left(1\right)}b=&a+b\\\operatorname {hyper2} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,2,b\right)=a^{\left(2\right)}b=&ab=\underbrace {a+{a+{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots +{a+{a}}}}} _{{\text{長さ }}b}=\int _{0}^{b}a\,db\\\operatorname {hyper3} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,3,b\right)=a^{\left(3\right)}b=&a^{b}=a\uparrow b=\underbrace {a\times {a\times {\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \times {a\times {a}}}}} _{{\text{長さ }}b}\\\operatorname {hyper4} \left(a,b\right)=\operatorname {hyper} \left(a,4,b\right)=a^{\left(4\right)}b=&\,^{b}a=a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} _{{\text{高さ }}b}\end{aligned}}}
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