fundamental group

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基本群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/11/10 04:09 UTC 版)

トーラス上の点 p を始点と終点にもつループ

数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、英: fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。

基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。

基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素関数のモノドロミー的性質の記述もする。

直感的説明

空間（例えば、曲面）とその中の点があり、この点を始点と終点とするすべてのループ — この点を始点とし周囲を巡り最終的に始点に戻ってくる道 — を考える。2つのループは明らかな方法でつなげることができる、すなわち第一のループに沿って移動してから、第二のループに沿って移動する。2つのループは、ループを壊すことなく一方から他方へ変形できるときに同値であると考える。すべてのそのようなループの集合にこの方法で合成と同値関係を入れたものがその空間の基本群である。

定義

X を位相空間、x₀ を X の点とする。x₀ を基点とするループと呼ばれる連続写像

$f\colon [0,1]\to X,\quad f(0)=x_{0}=f(1)$

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2015年7月）

• Ronald Brown, Topology and groupoids, Booksurge (2006). ISBN 1-4196-2722-8
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1
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• Richard Maunder, Algebraic Topology, Dover (1996) ISBN 0-486-69131-4
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• James Munkres, Topology, Prentice Hall (2000) ISBN 0-13-181629-2
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関連項目

• ホモトピー群、基本群の一般化。アーベル多様体の基本群にも同様な考え方がある。（エタール基本群や、軌道体(orbifold)に対しては、軌道体の基本群(en:orbifold#Orbifold fundamental group)がある。）

外部リンク

• Fundamental group - PlanetMath.org（英語）
• Fundamental groupoid - PlanetMath.org（英語）
• Weisstein, Eric W. "Fundamental group". MathWorld (英語).
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce to the fundamental group by Nicolas Delanoue