X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
      
       複素平面の一点コンパクト化。複素数 A  を埋め込み写像P  により球面(リーマン球面 と呼ばれる)の上の一点 α に写す。図でP  (∞)と書かれている部分が無限遠点である。
        
      
       n次元ユークリッド空間  
            
             
              
               
                
                
                 R
                  
                 
                
                
                 n
                  
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
              
             
            
            
             
              
               
                
                
                 S
                  
                 
                
                
                 n
                  
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}
              
             
            リーマン球面  
            
             
              
               
                
                 
                  
                  
                   C
                    
                   
                 
                  ^
                   
                  
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}
              
             
            複素平面  
            
             
              
               
               
                C
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {C} }
              
             
              
       自然数全体(離散位相) 
            
             
              
               
               
                N
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {N} }
              
             
            
            
             
              
               
               
                N
                 
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {N} }
              
             
            
            
             
              
              
               ω
                
               
              
            
             {\displaystyle \omega }
              
             
            
            
             
              
               
               
                N
                 
                
              
               ∪
                
              
               {
                
              
               ω
                
              
               }
                
               
              
            
             {\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\omega \}}
              
             
             
        
       チコノフ空間  
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              (
               
             
              β
               
             
              X
               
             
              ,
               
             
              i
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (\beta X,i)}
             
            
           
           
            
             
             
              (
               
             
              β
               
             
              X
               
             
              ,
               
             
              i
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (\beta X,i)}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           ストーン・チェックのコンパクト化 という[ 3] 
 
       
       
         
         ストーン・チェックのコンパクト化    
         
          
          
           
                
                 
                  
                  
                   i
                    
                  
                   (
                    
                  
                   X
                    
                  
                   )
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle i(X)}
                  
                 
                
                
                 
                  
                  
                   β
                    
                  
                   X
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle \beta X}
                  
                 
                
                
                 
                  
                  
                   X
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle X}
                  
                 
                
                
                 
                  
                  
                   β
                    
                  
                   X
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle \beta X}
                  
                 
                [ 4] 
                
                 
                  
                  
                   f
                    
                  
                   :
                    
                  
                   X
                    
                  
                   →
                    
                   
                   
                    R
                     
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
                  
                 
                
                
                 
                  
                   
                    
                     
                     
                      f
                       
                     
                      ¯
                       
                      
                     
                    
                  
                   :
                    
                  
                   β
                    
                  
                   X
                    
                  
                   →
                    
                   
                   
                    R
                     
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle {\bar {f}}:\beta X\to \mathbb {R} }
                  
                 
                
                
                 
                  
                   
                    
                     
                     
                      f
                       
                     
                      ¯
                       
                      
                     
                    
                  
                   ∘
                    
                  
                   i
                    
                  
                   =
                    
                  
                   f
                    
                   
                  
                
                 {\displaystyle {\bar {f}}\circ i=f}
                  
                 
                   
         
        
      
 
      
       
ストーン・チェックのコンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている。 なお、この性質を満たすコンパクト化は同値を除いてストーン・チェックのコンパクト化に限る事が知られているので、この性質はストーン・チェックのコンパクト化を特徴づける。 
 
       
      
       
チコノフ空間 
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
              
              
               C
                
               
               
                b
                 
                
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle C_{b}(X)}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                X
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle i:X\to \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              (
               
             
              f
               
             
              )
               
             
              :=
               
             
              f
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              ∈
               
             
              X
               
             
              ,
               
             
              f
               
             
              ∈
               
              
              
               C
                
               
               
                b
                 
                
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i(x)(f):=f(x)(x\in X,f\in C_{b}(X))}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i:X\to i(X)}
             
            
           
           
            
             
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                X
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           チコノフの定理 からコンパクトとなることからその閉部分集合 
           
            
             
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i(X)}}}
             
            
           
以上から 
           
            
             
             
              i
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle i:X\to {\overline {i(X)}}}
             
            
           
           
            
             
             
              (
               
             
              j
               
             
              ,
               
             
              K
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (j,K)}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              j
               
              
             
           
            {\displaystyle j}
             
            
           
           
            
             
              
              
               C
                
               
               
                b
                 
                
               
             
              (
               
             
              K
               
             
              )
               
             
              ↪
               
              
              
               C
                
               
               
                b
                 
                
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle C_{b}(K)\hookrightarrow C_{b}(X)}
             
            
           
           
            
             
              
              
               j
                
               
               
                ∗
                 
                
               
             
              :
               
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                X
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              →
               
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                K
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle j^{*}:\prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           
           
            
             
             
              K
               
              
             
           
            {\displaystyle K}
             
            
           
           
            
             
              
              
               C
                
               
               
                b
                 
                
               
             
              (
               
             
              K
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle C_{b}(K)}
             
            
           
           
            
             
             
              K
               
              
             
           
            {\displaystyle K}
             
            
           
           
            
             
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                K
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           
           
            
             
             
              e
               
             
              :
               
             
              K
               
             
              →
               
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  b
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                K
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle e:K\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           
           
            
             
              
              
               j
                
               
               
                ∗
                 
                
               
             
              ∘
               
             
              i
               
             
              =
               
             
              e
               
             
              ∘
               
             
              j
               
              
             
           
            {\displaystyle j^{*}\circ i=e\circ j}
             
            
           
           
            
             
              
              
               j
                
               
               
                ∗
                 
                
               
             
              (
               
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              )
               
             
              =
               
              
               
                
                 
                 
                  j
                   
                  
                  
                   ∗
                    
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              =
               
              
               
                
                
                 e
                  
                
                 (
                  
                
                 j
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              =
               
              
               
                
                
                 e
                  
                
                 (
                  
                
                 K
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              =
               
             
              e
               
             
              (
               
             
              K
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle j^{*}({\overline {i(X)}})={\overline {j^{*}(i(X))}}={\overline {e(j(X))}}={\overline {e(K)}}=e(K)}
             
            
           
以上から 
           
            
             
             
              e
               
             
              :
               
             
              K
               
             
              →
               
             
              e
               
             
              (
               
             
              K
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle e:K\to e(K)}
             
            
           
           
            
             
             
              β
               
             
              j
               
             
              :=
               
              
               
               
                e
                 
                
                 
                 
                  |
                   
                  
                 
                 
                  K
                   
                  
                 
                
               
               
                −
                 
               
                1
                 
                
               
             
              ∘
               
              
              
               j
                
               
               
                ∗
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \beta j:={e|_{K}}^{-1}\circ j^{*}}
             
            
           
           
            
             
             
              j
               
             
              =
               
             
              β
               
             
              j
               
             
              ∘
               
             
              i
               
              
             
           
            {\displaystyle j=\beta j\circ i}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i(X)}
             
            
           
           
            
             
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i(X)}}}
             
            
           
 
      
       
このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手 であることを示している。 この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。 
 
      
       
T1  空間には超フィルター を使ってストーン・チェックコンパクト化の類似物を構成することができる。これをウォールマンのコンパクト化といい、T1 なコンパクト化になっている。 
正規ハウスドルフ空間に対してはウォールマンのコンパクト化はストーン・チェックのコンパクト化と同値になる。数理論理学 や周辺分野ではウォールマンのコンパクト化のことをストーン・チェックのコンパクト化といい、
           
            
             
             
              β
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \beta X}
             
            
           
 
      
       
T1 空間 
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
              
               
               
                F
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\mathcal {F}}}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           包含関係 で自然に順序を入れる。 このとき 
           
            
             
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega X}
             
            
           
           
            
             
              
               
               
                F
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\mathcal {F}}}
             
            
           超フィルター 全体とする。 今 
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              C
               
              
             
           
            {\displaystyle C}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              C
               
             
              ⊆
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega C\subseteq \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              C
               
             
              :=
               
             
              {
               
             
              μ
               
             
              ∈
               
             
              ω
               
             
              X
               
             
              :
               
             
              C
               
             
              ∈
               
             
              μ
               
             
              }
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega C:=\{\mu \in \omega X\colon C\in \mu \}}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
              
               
               
                F
                 
                
               
             
              :=
               
             
              {
               
             
              ω
               
             
              C
               
             
              :
               
             
              C
               
             
              ∈
               
              
               
               
                F
                 
                
               
             
              }
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}:=\{\omega C\colon C\in {\mathcal {F}}\}}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              C
               
             
              ∪
               
             
              ω
               
             
              D
               
             
              =
               
             
              ω
               
             
              (
               
             
              C
               
             
              ∪
               
             
              D
               
             
              )
               
             
              (
               
             
              C
               
             
              ,
               
             
              D
               
             
              ∈
               
              
               
               
                F
                 
                
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega C\cup \omega D=\omega (C\cup D)(C,D\in {\mathcal {F}})}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
              
               
               
                F
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega X}
             
            
           
相異なる 
           
            
             
             
              μ
               
             
              ,
               
             
              ν
               
             
              ∈
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \mu ,\nu \in \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              C
               
             
              ∈
               
             
              μ
               
             
              ,
               
             
              D
               
             
              ∈
               
             
              ν
               
              
             
           
            {\displaystyle C\in \mu ,D\in \nu }
             
            
           
           
            
             
             
              C
               
             
              ∩
               
             
              D
               
             
              =
               
             
              ∅
               
              
             
           
            {\displaystyle C\cap D=\varnothing }
             
            
           
           
            
             
             
              U
               
             
              :=
               
             
              ω
               
             
              X
               
             
              ∖
               
             
              (
               
             
              ω
               
             
              D
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle U:=\omega X\setminus (\omega D)}
             
            
           
           
            
             
             
              μ
               
             
              ∈
               
             
              U
               
              
             
           
            {\displaystyle \mu \in U}
             
            
           
           
            
             
             
              ν
               
             
              ∉
               
             
              U
               
              
             
           
            {\displaystyle \nu \notin U}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega X}
             
            
           1 空間。 
           
            
             
              
               
               
                C
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\mathfrak {C}}}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
              
               
               
                F
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega {\mathcal {F}}}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              {
               
              
              
               C
                
               
               
                λ
                 
                
               
              
              
               }
                
               
               
                λ
                 
               
                ∈
                 
               
                Λ
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \{C_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}
             
            
           
           
            
             
             
              ⋂
               
              
               
               
                C
                 
                
               
             
              =
               
              
              
               ⋂
                
               
               
                λ
                 
               
                ∈
                 
               
                Λ
                 
                
               
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                λ
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \bigcap {\mathfrak {C}}=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                0
                 
                
               
             
              ∩
               
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                1
                 
                
               
             
              ∩
               
             
              ⋯
               
             
              ∩
               
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                n
                 
               
                −
                 
               
                1
                 
                
               
             
              =
               
             
              ∅
               
             
              ⇔
               
              
              
               C
                
               
               
                0
                 
                
               
             
              ∩
               
              
              
               C
                
               
               
                1
                 
                
               
             
              ∩
               
             
              ⋯
               
             
              ∩
               
              
              
               C
                
               
               
                n
                 
               
                −
                 
               
                1
                 
                
               
             
              =
               
             
              ∅
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega C_{0}\cap \omega C_{1}\cap \cdots \cap \omega C_{n-1}=\varnothing \Leftrightarrow C_{0}\cap C_{1}\cap \cdots \cap C_{n-1}=\varnothing }
             
            
           
           
            
             
             
              μ
               
             
              ∈
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \mu \in \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              {
               
              
              
               C
                
               
               
                λ
                 
                
               
             
              :
               
             
              λ
               
             
              ∈
               
             
              Λ
               
             
              }
               
              
             
           
            {\displaystyle \{C_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                λ
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega C_{\lambda }}
             
            
           
           
            
             
             
              μ
               
             
              ∈
               
              
              
               ⋂
                
               
               
                λ
                 
               
                ∈
                 
               
                Λ
                 
                
               
             
              ω
               
              
              
               C
                
               
               
                λ
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle \mu \in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega X}
             
            
           
写像 
           
            
             
             
              i
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle i:X\to \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              :=
               
             
              {
               
             
              C
               
             
              ∈
               
              
               
               
                F
                 
                
               
             
              :
               
             
              x
               
             
              ∈
               
             
              C
               
             
              }
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              ∈
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i(x):=\{C\in {\mathcal {F}}\colon x\in C\}(x\in X)}
             
            
           
           
            
             
             
              {
               
             
              x
               
             
              }
               
             
              ∈
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              ,
               
             
              {
               
             
              y
               
             
              }
               
             
              ∉
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              ≠
               
             
              y
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle \{x\}\in i(x),\{y\}\notin i(x)(x\neq y)}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
              
             
           
            {\displaystyle i}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              )
               
             
              ∈
               
             
              ω
               
             
              C
               
             
              ↔
               
             
              x
               
             
              ∈
               
             
              C
               
             
              (
               
             
              x
               
             
              ∈
               
             
              X
               
             
              ,
               
             
              C
               
             
              ∈
               
              
               
               
                F
                 
                
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i(x)\in \omega C\leftrightarrow x\in C(x\in X,C\in {\mathcal {F}})}
             
            
           
           
            
             
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 C
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              =
               
             
              ω
               
             
              C
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i(C)}}=\omega C}
             
            
           
           
            
             
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              =
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i(X)}}=\omega X}
             
            
           
           
            
             
              
               
                
                
                 i
                  
                
                 (
                  
                
                 C
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
             
              ∩
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
             
              =
               
             
              ω
               
             
              C
               
             
              ∩
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
             
              =
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              C
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i(C)}}\cap i(X)=\omega C\cap i(X)=i(C)}
             
            
           
           
            
             
             
              i
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
             
              i
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle i:X\to i(X)}
             
            
           
以上から 
           
            
             
             
              (
               
             
              i
               
             
              ,
               
             
              ω
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (i,\omega X)}
             
            
           1 なコンパクト化である。 
           
            
             
             
              (
               
             
              i
               
             
              ,
               
             
              ω
               
             
              X
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (i,\omega X)}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
              
               
               
                F
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\mathcal {F}}}
             
            
           ゼロ集合 (実連続関数の一点の逆像となる集合)全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。 
 
      
       
これは 
           
            
             
             
              μ
               
             
              ∈
               
             
              ω
               
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle \mu \in \omega X}
             
            
           
           
            
             
             
              ω
               
             
              f
               
             
              (
               
             
              μ
               
             
              )
               
             
              ∈
               
             
              ⋂
               
             
              {
               
             
              C
               
             
              ⊆
               
             
              K
               
             
              :
               
             
              C
               
              
              
                is closed
                
               
             
              ,
               
              
              
               f
                
               
               
                −
                 
               
                1
                 
                
               
             
              (
               
             
              C
               
             
              )
               
             
              ∈
               
             
              μ
               
             
              }
               
              
             
           
            {\displaystyle \omega f(\mu )\in \bigcap \{C\subseteq K:C{\text{ is closed}},f^{-1}(C)\in \mu \}}
             
            
           
 
      
       
チコノフ空間 
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
             
              (
               
             
              i
               
             
              ,
               
             
              K
               
             
              )
               
              
             
           
            {\displaystyle (i,K)}
             
            
           
           
            
             
             
              X
               
              
             
           
            {\displaystyle X}
             
            
           
           
            
             
              
              
               C
                
               
               
                i
                 
                
               
             
              (
               
             
              X
               
             
              )
               
             
              :=
               
             
              {
               
             
              f
               
             
              ∘
               
             
              i
               
             
              :
               
             
              f
               
             
              ∈
               
             
              C
               
             
              (
               
             
              K
               
             
              )
               
             
              }
               
              
             
           
            {\displaystyle C_{i}(X):=\{f\circ i\colon f\in C(K)\}}
             
            
           
           
            
             
              
              
               i
                
               
               
                ∗
                 
                
               
             
              :
               
             
              X
               
             
              →
               
              
              
               ∏
                
               
               
                f
                 
               
                ∈
                 
                
                
                 C
                  
                 
                 
                  i
                   
                  
                 
               
                (
                 
               
                X
                 
               
                )
                 
                
               
              
               
                
                 
                 
                  I
                   
                 
                  m
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 f
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle i^{*}:X\to \prod _{f\in C_{i}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}}
             
            
           
           
            
             
              
               
                
                 
                 
                  i
                   
                  
                  
                   ∗
                    
                   
                  
                
                 (
                  
                
                 X
                  
                
                 )
                  
                 
               
                ¯
                 
                
               
              
             
           
            {\displaystyle {\overline {i^{*}(X)}}}
             
            
           
           
            
             
             
              K
               
              
             
           
            {\displaystyle K}
             
            
           
この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。 
 
      
       
リー群 の離散 部分群の研究では、コセットの商空間が、位相幾何学的なレベルだけでなく、より豊かなレベルで構造を保存するために、より微妙なコンパクト化 の候補となることが多い。 
例えば,モジュラー曲線 はcuspごとに1点を追加することでコンパクト化され,リーマン曲面となる(コンパクトなので代数曲線 となる). 曲線は格子の空間をパラメトリック化し、格子は縮退することがある(「無限大に行く」)。 カスプはこれらの異なる「無限大への方向」を表している。 
以上が平面上の格子の場合である。 n ユークリッド空間 では、例えば
           
            
             
              
              
               SO
                
               
             
              (
               
             
              n
               
             
              )
               
             
              ∖
               
              
               
               
                SL
                 
                
               
               
                n
                 
                
               
             
              (
               
              
               
               
                R
                 
                
               
             
              )
               
              
              
               /
                
               
              
               
               
                SL
                 
                
               
               
                n
                 
                
               
             
              (
               
              
               
               
                Z
                 
                
               
             
              )
               
             
              .
               
              
             
           
            {\displaystyle {\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}}).}
             
            
           
 
      
       
       
       
 
       ^ a b 『数学シリーズ集合と位相』内田伏一著、p124、裳華房    
       ^ X  が距離空間である場合には、コンパクト部分集合は必ず閉集合であるので、
             
              
               
               
                X
                 
               
                ∖
                 
               
                U
                 
                
               
             
              {\displaystyle X\setminus U}
               
              
             
             
              
               
               
                X
                 
               
                ∖
                 
               
                U
                 
                
               
             
              {\displaystyle X\setminus U}
               
              
             
             
              
               
               
                X
                 
                
               
             
              {\displaystyle X}
               
              
             
             
              
               
               
                X
                 
               
                ∖
                 
               
                U
                 
                
               
             
              {\displaystyle X\setminus U}
               
              
             ^  『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p217  ^ この連続関数の定義域
             
              
               
               
                β
                 
               
                X
                 
                
               
             
              {\displaystyle \beta X}
               
              
               ^ Roubíček, T. (1997). Relaxation in Optimization Theory and Variational Calculus . Berlin: W. de Gruyter. ISBN  3-11-014542-1