Primary decomposition

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準素分解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/24 01:14 UTC 版)

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数学において、ラスカー・ネーターの定理は、任意のネーター環はラスカー環 (Lasker ring) であること、 すなわち、任意のイデアルが有限個の準素イデアル (primary ideal) の共通部分として分解できる（準素分解、じゅんそぶんかい、primary decomposition）ことを述べている。（準素イデアルは、素イデアルの冪と関連するが、全く同じというわけではない。定理は最初に多項式環と収束冪級数環という特別な場合に対して Emanuel Lasker (1905) によって証明され、Emmy Noether (1921) によって完全に一般的に証明された。

ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理の、あるいはより一般の有限生成アーベル群の基本定理の、すべてのネーター環への拡張である。ラスカー・ネーターの定理は、すべての代数的集合は既約成分の有限個の和集合に一意的に分解できると述べることによって、代数幾何学において重要な役割を果たす。

加群への直截な拡張がある：ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群は準素部分加群の有限交叉である。これは環を自身の上の加群したがってイデアルを部分加群と考えて環に対する場合を特別な場合として含んでいる。これはまた主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の準素分解形を一般化し、体上の多項式環と言う特別な場合に対して、それは代数的集合の（既約）多様体の有限和への分解を一般化する。

標数 0 の体^[1]上の多項式環に対する準素分解を計算する最初のアルゴリズムはネーターの学生 Grete Hermann (1926) によって出版された^{[要検証 – ノート]}。分解は非可換ネーター環に対しては一般には成り立たない。ネーターは準素イデアルの交叉ではない右イデアルを持つ非可換ネーターの例を与えた。

定義

R を可換環とし、M と N をその上の加群とする。

• 加群 M の零因子とは R の元 x であってある 0 ≠ m ∈ M に対して xm = 0 となるものである。
• R の元 x が M において冪零であるとは、ある正の整数 n に対して xⁿM = 0 となることをいう。
• 加群が coprimary であるとは、M の任意の零因子が M において冪零であることをいう。例えば、素冪位数の群と自由アーベル群は有理整数環上の coprimary 加群である。
• 加群 N の部分加群 M が primary 部分加群であるとは、N/M が coprimary であることをいう。
• イデアル I が準素であるとは、R の準素部分加群であることをいう。これは ab ∈ I ならば a ∈ I となるかあるいはある n に対して bⁿ ∈ I となると言うことと同値であり、環 R/I のすべての零因子が冪零であるという条件と同値である。
• 加群 N の部分加群 M が既約であるとは、2つの真に大きい部分加群の共通部分ではないことをいう。（単純の意味ではないので注意。）
• 加群 M の素因子は M のある元の零化域であるような素イデアルである。

主張

加群に対するラスカー・ネーターの定理は、ネーター環上の有限生成加群の任意の部分加群は準素部分加群の有限交叉であると述べている。イデアルという特別な場合には、ネーター環の任意のイデアルは準素イデアルの有限交叉である、となる。

同値な主張は：ネーター環上の任意の有限生成加群は coprimary 加群の有限個の積に含まれる。

ラスカー・ネーターの定理は次の3つの事実からただちに従う：

• ネーター環上の有限生成加群の任意の部分加群は有限個の既約部分加群の共通部分である。
• M がネーター環上の有限生成加群 N の既約部分加群のとき、N/M は1つしか素因子を持たない。
• ネーター環上の有限生成加群が coprimary であることと高々1つの素因子しか持たないことは同値である。

いくらか異なる風味の証明が下で与えられる。

環における既約分解

環のイデアルの分解の研究は Z[√-5] のような環において一意分解が成り立たない

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$

この節には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年8月）

• M。 Atiyah、I。G。 Macdonald、Introduction to Commutative Algebra、 Addison–Wesley、 1994。 ISBN 0-201-40751-5
• Danilov, V.I. (2001), "Lasker ring", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR1322960 、 esp。 section 3。3。
• Hermann, Grete (1926), “Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale”, Mathematische Annalen 95: 736–788, doi:10.1007/BF01206635 。 English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30。
• Lasker, E. (1905), “Zur Theorie der Moduln und Ideale”, Math. Ann. 60: 19–116, doi:10.1007/BF01447495 
• Markov, V.T. (2001), "Primary decomposition", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra 
• Noether, Emmy (1921), “Idealtheorie in Ringbereichen”, Mathematische Annalen 83 (1): 24, doi:10.1007/BF01464225, http://www.springerlink.com/content/m3457w8h62475473/fulltext.pdf 
• Curtis, Charles (1952), “On Additive Ideal Theory in General Rings”, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 74 (3): 687–700, doi:10.2307/2372273, JSTOR 2372273, https://jstor.org/stable/2372273 
• Krull, Wolfgang (1928), “Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen”, Mathematische Zeitschrift 28 (1): 481–503, doi:10.1007/BF01181179, http://www.springerlink.com/content/j57u808658262654/ 

外部リンク

• http://mathoverflow。net/questions/105138/is-primary-decomposition-still-important
• Bhatt, Bhuvanesh.. "Primary Ideal". MathWorld (英語).
• primary decomposition - PlanetMath.（英語）
• Markov, V.T. (2001), "Primary decomposition", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。