Mertens functionとは? わかりやすく解説

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Mertens 関数

(Mertens function から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/10/27 20:57 UTC 版)

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Mertens 関数 は任意の正の整数 n において

(は、メビウス関数)

で表される関数のことである。また、次のように定義して正の実数に拡張できます。

より形式的には、M(x)は、偶数素因数 - 奇数を持つものの数を引いたxまでの平方因子をもたない整数です。

Mertens関数は、平均値とピーク値の両方で正負の方向にゆっくりと成長し、となる零点nは、小さいほうから、

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... オンライン整数列大辞典の数列 A028442.

メビウス関数は、-1, 0, +1のどれかの値しか取らないので、|M(x)| < xとなる。 The Mertens conjecture went further, stating that there would be no x where the absolute value of the Mertens function exceeds the square root of x. The Mertens conjecture was proven false in 1985 by Andrew Odlyzko and Herman te Riele. However, the Riemann hypothesis is equivalent to a weaker conjecture on the growth of M(x), namely M(x) = O(x1/2 + ε). Since high values for M(x) grow at least as fast as the square root of x, this puts a rather tight bound on its rate of growth. Here, O refers to Big O notation.

The true rate of growth of M(x) is not known. An unpublished conjecture of Steve Gonek states that

Probabilistic evidence towards this conjecture is given by Nathan Ng.[1]

Representations

As an integral

オイラー積を使うと、

リーマンゼータ関数 and the product is taken over primes. 次に,ディリクレ級数ヘロンの公式を使い,次の式が得られる。

(c > 1.)


Conversely, one has the メリン変換

(.)

第二チェビシェフ関数を使い以下のようにあらわせる

Assuming that there are not multiple non-trivial roots of we have the "exact formula" by the residue theorem:

Weyl conjectured that the Mertens function satisfied the approximate functional-differential equation

where H(x) is the Heaviside step function, B are Bernoulli numbers and all derivatives with respect to t are evaluated at t = 0.

There is also a trace formula involving a sum over the Möbius function and zeros of Riemann Zeta in the form

where the first sum on the right-hand side is over the nontrivial zeros of the Riemann zeta function, and (g,h) are related by a Fourier transform, such that

ファレイ数列

Mertens関数はファレイ数列を使い以下のようにも表せる。

 ( は、オーダーnファレイ数列)

この公式はFranel–Landau theoremの証明に使われます[2]

Redheffer 行列

Redheffer 行列(aijにおいてj = 1もしくは、ijを割り切るときは1となり、それ以外は、0となる行列)の行列式は M(n) に等しい。

As a sum of the number of points under n-dimensional hyperboloids

計算

前述の方法のどちらも、メッテンス関数を計算するための実用的なアルゴリズムを導かない。 Using sieve methods similar to those used in prime counting, the Mertens function has been computed for all integers up to an increasing range of x.[3][4]

人名 上限
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1.5×105
von Sterneck 1901 5×105
von Sterneck 1912 5×106
Neubauer 1963 108
Cohen and Dress 1979 7.8×109
Dress 1993 1012
Lioen and van de Lune 1994 1013
Kotnik and van de Lune 2003 1014
Hurst 2016 1016

最大xまでのすべての整数値に対するMertens関数の計算時間は、O(x log log x)である。 Combinatorial based algorithms can compute isolated values of M(x) in O(x2/3(log log x)1/3) time, and faster non-combinatorial methods are also known.

10の累乗でM(x)の値については、A084237を参照してください。

関連項目

注釈

  1. ^ Ng
  2. ^ Edwards, Ch. 12.2
  3. ^ Kotnik, Tadej; van de Lune, Jan (2003年11月). “Further systematic computations on the summatory function of the Möbius function”. MAS-R0313. 
  4. ^ Hurst, Greg (2016年). “Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture”. arXiv:1610.08551 [math.NT]. 

参考文献




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