ポリア予想

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ポリア予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/07 14:58 UTC 版)

n = 10⁷ までの、リウヴィル関数の和 L(n) の推移。すぐに見て取れる振動は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点に起因する。

（拡大図）ポリア予想が成り立たなくなる範囲でのリウヴィル関数の和 L(n) の値。

n = 2 × 10⁹ までの範囲で、リウヴィル関数の和 L(n) のマイナス1倍を対数グラフで図示したもの。緑色のスパイクは、予想が成り立たなくなる狭い範囲での（マイナス1倍したものでなく）関数そのものの値を示す。青色の曲線は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点が、振動へ寄与する様子を表す。

数論におけるポリア予想（ポリアよそう、英: Pólya conjecture）とは、任意の自然数に対し、それ未満の自然数のうち半分以上は奇数個の素因数を持つという主張である。この予想はハンガリーの数学者ジョージ・ポリアによって1919年に立てられ、1958年、C・ブライアン・ヘイゼルグローブによって誤りであることが示された。この最小の反例は、非常に多くの自然数に対して成立する主張であっても、なお誤りであり得る例としてよく言及される。

主張

ポリア予想は次のとおりである。

『任意の n (> 1) に対し、それ未満の自然数（0は含まない）のうち素因数が奇数個のものの個数は、素因数が偶数個のものの個数以上である。』

ただし、重複して現れる素因数はその数だけ数えるものとする。よって、 18 = 2¹ × 3² は 1 + 2 = 3 個の素因数を持ち、奇数のグループに入る。一方 60 = 2² × 3 × 5 は 4 個の素因数を持ち、偶数のグループに入る。

リウヴィル関数 $\lambda (n)$