Inner product

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内積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/27 19:38 UTC 版)

線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。

定義

複素数体 ℂ 上のベクトル空間 V 上で定義された二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → ℂ が内積あるいはエルミート内積であるとは、x, y, z ∈ V および λ ∈ ℂ を任意として

• 第一変数に関する線型性: ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩;
• 第二変数に関する共軛線型性: ⟨x, λy + z⟩ = λ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩;
• エルミート対称性: ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩;
• 非退化性: V の元 x に対して ⟨x, x⟩ = 0 ならば x = 0;
• 半正定値性: V の任意の元 x に対して ⟨x, x⟩ ≥ 0

を満たすことを言う（ここで上付きのバー • は複素共役を表す）。すなわち、複素ベクトル空間上の内積は非退化正定値のエルミート形式である。

実ベクトル空間の場合も同様で、実ベクトル空間 V 上の二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → ℝ が内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う。

場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、⟨x, x⟩ は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである（後述）。

基本性質

エルミート対称性に注意すれば、任意の x に対して $$\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$$