アイゼンシュタイン整数

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アイゼンシュタイン整数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/26 22:45 UTC 版)

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複素数平面内の、正三角形を成す格子における格子点は、アイゼンシュタイン整数を表す。

アイゼンシュタイン整数（アイゼンシュタインせいすう、Eisenstein integer）とは、フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタインに因んで名付けられた複素数の一種である。正確には、整数 a, b と 1 の原始3乗根

${\displaystyle \omega :=e^{i\cdot {\frac {2}{3}}\pi }={\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}}$

複素数平面上のアイゼンシュタイン素数。同伴なものは正六角形の頂点に配置されるので、このように対称性のある図形を描く。

単数ではなく、かつ自明な約数しか持たないアイゼンシュタイン整数をアイゼンシュタイン素数と呼ぶ。区別のために、通常の素数は有理素数と呼ぶこともある。ノルムが有理素数であるようなアイゼンシュタイン整数は素数であるが、その逆は正しくない。どのようなアイゼンシュタイン整数が素数であるかを見るには、有理素数が Z[ω] においてどのように分解するかを調べる必要がある。

まず、3 は −(1 + 2ω)² と等しい。すなわち、3 は同伴な2つのアイゼンシュタイン素数の積に表せるのであって、この状況を「3 は分岐する」という。

次に、3n + 2 の形の有理素数 p は Z[ω] でも素数であることが分かる。この状況を「p は惰性する」という。実際、p = 3n + 2 が2つの（単数でない）アイゼンシュタイン整数の積 αβ に等しいとすると、ノルムを取って N(α)N(β) = p² より N(α) = p を得るが、両辺を 3 で割った余りが等しくないので矛盾である。

最後に、証明は簡単ではないが、3n + 1 の形の有理素数 p は2つの同伴でないアイゼンシュタイン素数の積に表せることが知られている。このことは、p が x² + 3y² の形に表せることと同等である（参考：二個の平方数の和#重みつき平方数の和）。

結局、アイゼンシュタイン素数は以下の3つのタイプがあることが分かる。

• ノルムが 3 であるもの。すなわち、±(1 − ω), ±(2 + ω), ±(1 + 2ω) の6つ。
• ノルムが 3n + 1 の形の素数であるもの。例えば 1 + 3ω, 2 − ω など。
• 3n + 2 の形の有理素数と同伴であるもの。例えば 2, 2 + 2ω など。

素因数分解の一意性

アイゼンシュタイン整数環は素元分解整域である。すなわち、大雑把に述べると

「任意のアイゼンシュタイン整数はアイゼンシュタイン素数の積として一意に表すことができる」

ただし、この「一意」は適切に解釈されなければならず、順序を入れ替えただけの分解や、アイゼンシュタイン素数が同伴の違いしかないものは同一視する。

実際、アイゼンシュタイン整数環はユークリッド整域であり、よって一般の環論より単項イデアル整域、さらには素元分解整域であることが従う。Z[ω] がノルムに関してユークリッド整域であるとは、次の命題が成り立つことを意味する。

任意のアイゼンシュタイン整数 α, β (≠ 0) に対して α = βγ + δ かつ N(δ) < N(β) を満たすアイゼンシュタイン整数 γ, δ が存在する。

実際、複素数平面において α/β に最も近いアイゼンシュタイン整数 γ を取ると

${\displaystyle \left|{\frac {\alpha }{\beta }}-\gamma \right|\leq {\frac {1}{\sqrt {3}}}<1}$ カテゴリ

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