非圧縮性を有する場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/15 15:40 UTC 版)
まず、 C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} で表記した ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} の式を次のように変形する。 ( 1 2 S − ∂ Φ ∂ C ) : C ˙ = 0 {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}\right):{\dot {\boldsymbol {C}}}=0} 非圧縮性を有することから、 J = 1 , J ˙ = 0 {\displaystyle J=1,{\dot {J}}=0} を J ˙ = 1 2 J C − 1 : C ˙ {\displaystyle {\dot {J}}={\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}} に代入して、 1 2 J C − 1 : C ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}:{\dot {\boldsymbol {C}}}=0} を得る。二つの式を比較して、 1 2 S − ∂ Φ ∂ C = γ 1 2 J C − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\gamma {\frac {1}{2}}J{\boldsymbol {C}}^{-1}} を得る。今、 γ {\displaystyle \gamma } は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は J {\displaystyle J} のままの方が便利なので、 J = 1 {\displaystyle J=1} を代入していない。変形すると、 S = 2 ∂ Φ ∂ C + γ J C − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}+\gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}} ここで、 p = 1 3 t r σ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}} と定義すると、 p = 1 3 t r σ = 1 3 J − 1 S : C = 2 3 J − 1 ∂ Φ ∂ C : C + γ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}+\gamma } 上の結果から、 γ {\displaystyle \gamma } と p {\displaystyle p} は ∂ Φ ∂ C : C = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}=0} のときにのみ一致する。これは、 Φ ( α C ) = Φ ( C ) {\displaystyle \Phi (\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi ({\boldsymbol {C}})} となるときに成立する。ここで、 C ^ = I I I C − 1 3 C {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {C}}}=III_{C}^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}} によって新たな関数 Φ ^ ( C ) = Φ ( C ^ ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})=\Phi ({\hat {\boldsymbol {C}}})} を定義する。 Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} を用いると、 Φ ^ ( α C ) = Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {\alpha C}})={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} となることが次のように示される。 Φ ^ ( α C ) = Φ [ ( d e t α C ) − 1 3 ( α C ) ] = Φ [ ( α 3 d e t C ) − 1 3 ( α C ) ] = Φ [ ( d e t C ) − 1 3 C ] = Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}(\alpha {\boldsymbol {C}})=\Phi [(\mathrm {det} \,\alpha {\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\alpha ^{3}\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}(\alpha {\boldsymbol {C}})]=\Phi [(\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}})^{-{\frac {1}{3}}}{\boldsymbol {C}}]={\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} ここで、 I I I C = d e t C {\displaystyle III_{C}=\mathrm {det} \,{\boldsymbol {C}}} を用いた。 非圧縮性の場合、 Φ ( C ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})} を Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} で代替できるため、 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} の式は次のように表される。 S = 2 ∂ Φ ^ ∂ C + p J C − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+pJ{\boldsymbol {C}}^{-1}} 偏差成分 S ′ {\displaystyle {\boldsymbol {S}}'} は、 S ′ = 2 ∂ Φ ^ ∂ C {\displaystyle {\boldsymbol {S}}'=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}} である。通常は、 Φ ( C ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})} と Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} は等しくないが、非圧縮性を有する場合、 C ^ = C {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {C}}}={\boldsymbol {C}}} より成立する。
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