集合半環から集合環への測度の延長とは? わかりやすく解説

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集合半環から集合環への測度の延長

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2015/04/29 07:07 UTC 版)

集合半環」の記事における「集合半環から集合環への測度の延長」の解説

集合半環生成する集合環とは以下の如く容易に記述できる : 命題 集半環 を含む最小集合環は、 に属する元の有限合併として得られる集合全体の成す族に一致する。これはまた、属する元の有限交合併の全体が成す族とも同じである。 命題 集半環上で定義され測度 μ に対し、μ を の生成する集合環延長し、その集合環上の測度にすることができる。 延長一意性付いては、測度加法性と の生成する集合環の元の表し方から明らかである。何となれば集合環の元 A は半環 の元 Ai によって A= A1 ∪ … ∪ An と書けるから μ(A) = μ(A1) + … + μ(An) を満たさねばならない延長存在性に対しては、今得た A の値を定め等式が A の分解仕方に依らないことを見れば問題なく測度定義されていることが保証できる集合半環およびそれが生成する集合環を、集合代数およびそれが生成する集合代数取り換え同様の主張は、同じく成立し、その証明直ち先の主張帰せられる。 集合半環用いるか集合代数用い得るかは大抵は些細な問題である。集合代数用い場合は、最終的に σ-集合代数上の測度を得る構成整合していて、この場合よけいな集合環」の概念用いことなく議論をすることができる。集合半環用い場合は、最初σ-加法性確認の手間を減らすことができるし、それ以外のこともσ-集合環δ-集合環上の測度構成する目的であれば完全に正当化できる

※この「集合半環から集合環への測度の延長」の解説は、「集合半環」の解説の一部です。
「集合半環から集合環への測度の延長」を含む「集合半環」の記事については、「集合半環」の概要を参照ください。

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