運動エネルギー補正項
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/18 03:07 UTC 版)
「微細構造 (原子物理学)」の記事における「運動エネルギー補正項」の解説
古典力学的には、ハミルトニアンの運動エネルギーの項は T = p 2 2 m {\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}} である。しかし、特殊相対性理論を考えると相対論的運動エネルギーを用いる必要があり、 T = p 2 c 2 + m 2 c 4 − m c 2 {\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}} となる。ここで第1項は全相対論的エネルギーを、第2項は電子の静止エネルギーを表す。この式を展開し、 T = p 2 2 m − p 4 8 m 3 c 2 + … {\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\dots } を得る。したがって、ハミルトニアンの1次の補正項は H k i n e t i c = − p 4 8 m 3 c 2 {\displaystyle H_{\rm {kinetic}}=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}} である。これを摂動として用い、相対論的効果による1次のエネルギー補正量を求めることができる。 E n ( 1 ) = ⟨ ψ 0 | H ′ | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 4 | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 ⟩ {\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle } ここで ψ 0 {\displaystyle \psi ^{0}} は無摂動の波動関数である。これと無摂動のハミルトニアン H 0 = p 2 2 m + V {\displaystyle H^{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V} およびエネルギー準位 E n {\displaystyle E_{n}} の間に成り立つシュレーディンガー方程式 H 0 | ψ 0 ⟩ = E n | ψ 0 ⟩ {\displaystyle H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle } から、 p 2 | ψ 0 ⟩ = 2 m ( E n − V ) | ψ 0 ⟩ {\displaystyle p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-V)\vert \psi ^{0}\rangle } を得る。この結果を先の1次のエネルギー補正量に用いて、 E n ( 1 ) = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | ( 2 m ) 2 ( E n − V ) 2 | ψ 0 ⟩ = − 1 2 m c 2 ( E n 2 − 2 E n ⟨ V ⟩ + ⟨ V 2 ⟩ ) {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=\displaystyle -{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle \\&=\displaystyle -{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle \\&=\displaystyle -{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )\end{aligned}}} となる（最後の式では ⟨ ψ 0 | ⋯ | ψ 0 ⟩ = ⟨ ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \psi ^{0}\vert \cdots \vert \psi ^{0}\rangle =\langle \cdots \rangle } と省略して書いた）。 水素様原子の場合、 V = e 2 r {\displaystyle V={\frac {e^{2}}{r}}} より ⟨ V ⟩ = e 2 a 0 n 2 {\displaystyle \langle V\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}} および ⟨ V 2 ⟩ = e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 {\displaystyle \langle V^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}} （ただし a 0 {\displaystyle a_{0}} はボーア半径, n {\displaystyle n} は主量子数、 l {\displaystyle l} は方位量子数）となるため、エネルギー準位の相対論的補正として、 E n ( 1 ) = − 1 2 m c 2 ( E n 2 − 2 E n e 2 a 0 n 2 + e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 ) = − E n 2 2 m c 2 ( 4 n l + 1 / 2 − 3 ) {\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)} を得る。
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