負の二項分布

統計学用語辞典

負の二項分布

　Excel にはnegbinomdistという関数が用意されている。

　ある実験を繰り返し行った場合，事象の起こる確率が p であるならば，その事象の生起回数は 二項分布 に従った。
　では，事象が k 回起きるまで，何回その事象が起きなかったかを考えてみよう。
　事象の起きなかった回数を x とすると，それまでに k - 1 回は事象が観察されるから，n = k + x とすると，（1）式のようになる。この分布を 負の二項分布 と呼ぶ。
　　……（1）
ただし，x = 0,1, … ，p ＞ 0，q ＞ 0，p + q = 1

図 1．負の二項分布の概形

　負の二項分布の平均 E ( x ) と分散 V ( x ) は
E ( x ) = k q / p，　V ( x ) = k q / p²
である。


　（ 1 ）式は，変形すると

のようにも表すことができる。これは n 回目にちょうど事象の生起回数が k となった場合の確率を表す形である。


　また，（ 1 ）式で q^x = ｛ - ( - q ) ｝^x = ( - 1 ) ^x ( - q ) ^x であるから，
　　……（2） となる。ただし，

である。
　（ 2 ）式において，注目している事象の起こらない回数 x に負の項 - k が対応している。これが負の二項分布と呼ばれる理由である。