被積分函数の多項式倍
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
同様の積分として、 ∫ 0 ∞ x 2 n exp ( − x 2 a 2 ) d x = π ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 a 2 n + 1 = π ( 2 n ) ! n ! ( a 2 ) 2 n + 1 , ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 exp ( − x 2 a 2 ) d x = n ! 2 a 2 n + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }x^{2n}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)dx&={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}a^{2n+1}={\sqrt {\pi }}{\frac {\left(2n\right)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1},\\\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)dx&={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}\end{aligned}}} (4.1) が成立する。これらを導出するには積分記号下での微分法を用いるのが簡便である： ∫ − ∞ ∞ x 2 n exp ( − α x 2 ) d x = ( − 1 ) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ exp ( − α x 2 ) d x = π ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n α − 1 / 2 = π α ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 α ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}\exp(-\alpha x^{2})\,dx=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-\alpha x^{2})\,dx\\[8pt]&={\sqrt {\pi }}(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-1/2}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}.\end{aligned}}} (4.2)
※この「被積分函数の多項式倍」の解説は、「ガウス積分」の解説の一部です。
「被積分函数の多項式倍」を含む「ガウス積分」の記事については、「ガウス積分」の概要を参照ください。
- 被積分函数の多項式倍のページへのリンク
