自然界における単振動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/10 17:10 UTC 版)
単振動は最も基本的な振動運動であり、自然界においてもよくみられる。特に、ポテンシャルU(x)がある位置x=x0において最小値U(x0)=U0を持つような力学系の場合は、ポテンシャルの最小点x=x0付近での微小な運動は単振動として近似することができる。 このポテンシャルU(x)をx=x0でテイラー展開すると U ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( x − x 0 ) n n ! U ( n ) ( x 0 ) = U ( x 0 ) + ( x − x 0 ) U ′ ( x 0 ) + ( x − x 0 ) 2 2 ! U ″ ( x 0 ) + ( x − x 0 ) 3 3 ! U ‴ ( x 0 ) + ⋯ {\displaystyle U(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}U^{(n)}(x_{0})=U(x_{0})+(x-x_{0})U'(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2!}}U''(x_{0})+{\frac {(x-x_{0})^{3}}{3!}}U'''(x_{0})+\cdots } となるが、運動をx=x0から微小な範囲に限定すると、x-x0は微小量となるため3次以上は無視できる。また、x=x0でポテンシャルU(x)が最小値をとることから、 U ′ ( x 0 ) = 0 , U ″ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle U'(x_{0})=0,\quad U''(x_{0})>0} である。これらのことを考慮すると、 U ( x ) ≈ U 0 + U ″ ( x 0 ) 2 ( x − x 0 ) 2 {\displaystyle U(x)\approx U_{0}+{\frac {U''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}} となる。このポテンシャルによる力Fは F = − U ′ ( x ) {\displaystyle F=-U'(x)} で与えられるので、U''(x0)=k(>0)とおくと、 F = − U ′ ( x ) = − k ( x − x 0 ) {\displaystyle F=-U'(x)=-k(x-x_{0})} これはx0を中心とする単振動を表す方程式である。 このことから、固体分子・原子の熱振動のような微小な振動運動は、単振動であることがわかる。
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