線型的拡がり
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 21:50 UTC 版)
量子ウォークの分布の統計的な性質に関しては、Konno (2008)等でその詳細を見ることができる 。例えば、Konno (2002)・Konno (2005)によって、 X n {\displaystyle X_{n}} を初期状態 Ψ 0 = | 0 ⟩ ⊗ ( α | L ⟩ + β | R ⟩ ) {\displaystyle \Psi _{0}=|0\rangle \otimes (\alpha |L\rangle +\beta |R\rangle )} から始めた量子ウォーク（但し、 a b c d ≠ 0 {\displaystyle abcd\not =0} ）の時刻 n {\displaystyle n} での分布 μ n ( x ) {\displaystyle \mu _{n}(x)} に従う確率変数とすると、 X n / n ⇒ Y , ( n → ∞ ) {\displaystyle X_{n}/n\Rightarrow Y,\;\;(n\to \infty )} が成立することが示されている 。但し、 Y {\displaystyle Y} は以下のような密度関数を持つ確率変数である 。 { 1 − c ( a , b ; α , β ) x } f K ( x ; | a | ) . {\displaystyle \left\{1-c(a,b;\alpha ,\beta )x\right\}f_{K}(x;|a|).} ここで、 c ( a , b ; α , β ) = | α | 2 − | β | 2 + 2 R e ( a α b β ¯ ) | a | 2 , {\displaystyle c(a,b;\alpha ,\beta )=|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}+{\frac {2\mathrm {Re} (a\alpha {\overline {b\beta }})}{|a|^{2}}},} f K ( x ; | a | ) = | c | π ( 1 − x 2 ) | a | 2 − x 2 1 { x < | a | } ( x ) , {\displaystyle f_{K}(x;|a|)={\frac {|c|}{\pi (1-x^{2}){\sqrt {|a|^{2}-x^{2}}}}}\mathbf {1} _{\{x<|a|\}}(x),} である 。このことからわかるように、ランダムウォークの場合は、中心極限定理により、標準偏差が n {\displaystyle {\sqrt {n}}} のオーダーで発散するのに対して、量子ウォークでは n {\displaystyle n} のオーダーで発散することがわかる 。さらに、大偏差原理を含む密度関数の境界付近に関する極限定理が砂田と楯(2012)によって得られている 。
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