第一クザン問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/30 18:31 UTC 版)
第一クザン問題(the first Cousin problem)、あるいは加法的クザン問題(additive Cousin problem)は、それぞれの函数の差 f i − f j {\displaystyle f_{i}-f_{j}} f − f i {\displaystyle f-f_{i}} が正則となるものが存在するか、という問題である。言い換えると、f は与えられた局所函数と同じ特異的挙動を持つかという問題である。fi − fj に与えられた条件は、明らかにこのための必要条件であり、従って問題はこれが充分であるか否かを問うている。一変数で M が複素平面内の開部分集合である場合は、これは与えられた極に関するミッタク＝レフラーの定理である。リーマン面の理論は、M について何らかの条件が必要であることを示している。この問題は、シュタイン多様体上では常に解くことができる。 第一クザン問題は、次のように層係数コホモロジーの言葉で理解することができる。K を M 上の有理型函数の層として、O を正則函数の層とする。K の大域切断 ƒ は、商層 K/O の大域切断 φ(ƒ) へ写像される。この逆が第一クザン問題である。つまり K/O の大域切断が与えられたときに、それに写像される K の大域切断が存在するかという問題であり、すなわち写像 H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) . {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\varphi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).} H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) → H 1 ( M , O ) {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\varphi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )} は完全であるので、第一クザン問題は、一次元ホモロジー群 H1(M,O) が 0 となるときは、常に解くことができる。特にカルタンの定理 Bにより、M がシュタイン多様体であれば第一クザン問題は常に解ける。
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