相対的フロベニウス
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:24 UTC 版)
「フロベニウス自己準同型」の記事における「相対的フロベニウス」の解説
S-スキーム X の相対的フロベニウス写像(relative Frobenius morphism)とは、 F X / S = ( F X , 1 S ) {\displaystyle F_{X/S}=(F_{X},1_{S})} により定義される射 F X / S : X → X ( p ) {\displaystyle F_{X/S}:X\to X^{(p)}} である。絶対フロベニウス写像は自然であるので、相対的フロベニウス写像は、S-スキームの射である。 例えば、A-代数 R = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 , … , f m ) . {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).} を考える。すると、 R ( p ) = A [ X 1 , … , X n ] / ( f 1 ( p ) , … , f m ( p ) ) {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)})} を得る。相対的フロベニウス写像は、 ∑ i ∑ α X α ⊗ a i α ↦ ∑ i ∑ α a i α X p α {\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }} により定義される準同型写像 R(p) → R である。 相対的フロベニウス写像は、ベースチェインジと整合性を持ち、その意味は、X(p/S) ×S S′ と (X ×S S′)(p/S′) との自然な同型の下で、 F X / S × 1 S ′ = F X × S S ′ / S ′ {\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}} を得る。 相対的フロベニウス写像は、普遍的な同相写像である。X → S を開埋め込みとすると、恒等写像となる。X → S が OS のイデアル I により決まる閉埋め込みとすると、X(p) はイデアル層 Ip より決定され、相対的フロベニウスは、増強された写像 OS/Ip → OS/I である。 X が S 上に不分岐であることと、FX/S が不分岐であること、FX/S が単射準同型(monomorphism)であることとは同値である。X が S 上でエタールであることと、FX/S がエタールであること、FX/S が同型であることとは同値である。
※この「相対的フロベニウス」の解説は、「フロベニウス自己準同型」の解説の一部です。
「相対的フロベニウス」を含む「フロベニウス自己準同型」の記事については、「フロベニウス自己準同型」の概要を参照ください。
- 相対的フロベニウスのページへのリンク
