生産関数のケース
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/05 21:05 UTC 版)
資本 K {\displaystyle K} と労働 L {\displaystyle L} という2つの生産要素があるとする。資本と労働の代替の弾力性 σ {\displaystyle \sigma } は σ K L = d ( K / L ) / ( K / L ) d ( M P L / M P K ) / ( M P L / M P K ) = d ( K / L ) / ( K / L ) d ( w / r ) / ( w / r ) {\displaystyle \sigma _{KL}={\frac {d(K/L)/(K/L)}{d(MP_{L}/MP_{K})/(MP_{L}/MP_{K})}}={\frac {d(K/L)/(K/L)}{d(w/r)/(w/r)}}} となる。ただし M P L {\displaystyle MP_{L}} は労働の限界生産、 M P K {\displaystyle MP_{K}} は資本の限界生産、 w {\displaystyle w} は賃金、 r {\displaystyle r} は資本レンタルである。要素価格が変化したときに、生産者がどれくらいそれぞれの生産要素の投入量を調整するかを示す指標である。賃金が割高になれば、資本の投入量が相対的に増えるので代替の弾力性は正である。 生産関数が f ( L , K ) {\displaystyle f(L,K)} であるとき、対数差分を変化率と解釈すると（つまり d ln A = d A / A {\displaystyle d\ln A=dA/A} ）、代替の弾力性は σ K L = d ln ( K / L ) d ln ( d f d L / d f d K ) = d ( K / L ) K / L d ( d f d L / d f d K ) d f d L / d f d K {\displaystyle \sigma _{KL}={\frac {d\ln(K/L)}{d\ln({\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}})}}={\frac {\frac {d(K/L)}{K/L}}{\frac {d({\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}})}{{\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}}}}}} とも書ける。また、 σ K L = σ L K {\displaystyle \sigma _{KL}=\sigma _{LK}} である。
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